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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 7

Sejam dados um real s > 0 e um natural n ≠ 0 .

  1. Verifique que

    2. ∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = n s ∫ 0 + ∞ t n - 1   e - s t   d t

  2. Mostre que

∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = n ! s n + 1

Passo 1

a)

Para calcular a integral, como se trata de uma imprópria, vamos aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   t n   d t

Vamos usar a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Neste caso nossas funções são

f = t n g ' = e - s t   →   f ' = n   t n - 1 g = - e - s t s

Então

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   t n   d t = l i m A → + ∞ - t n e - s t s 0 A + n s l i m A → + ∞ ∫ 0 A t n - 1   e - s t   d t

Substituindo os limites no colchete

l i m A → + ∞ - t n s e s t 0 A = l i m A → + ∞ A n s e s A + 0 n s e s 0

= l i m A → + ∞ A n s e s A

Como n é um natural, vamos aplicar L’Hospital até que a potencia de A seja zero, resultando em

l i m A → + ∞ A n s e s A = l i m A → + ∞ n A n - 1 s 2 e s A = l i m A → + ∞ n ( n - 1 ) A n - 2 s 3 e s A

= ⋯ = l i m A → + ∞ n ! s n + 1 e s A = 0

Então temos

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   t n   d t = n s l i m A → + ∞ ∫ 0 A t n - 1   e - s t   d t

∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = n s ∫ 0 + ∞ t n - 1   e - s t   d t

Passo 2

b)

Para mostrarmos essa relação, vamos usar o que provamos no item a repetidas vezes, até que cheguemos em uma potência de t igual a 0 .

A gente viu isso aqui

∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = n s ∫ 0 + ∞ t n - 1   e - s t   d t

Agora vamos olhar para a segunda integral. Quando a gente faz esse tipo de integral, o que acontece é que o expoente de t vem pra frente dividido por s e temos uma integral igualzinha, só que com expoente reduzido em uma unidade

∫ 0 ∞ t n - 1 e - s t d t = n - 1 s ∫ 0 ∞ t n - 2 e - s t d t

Jogando na primeira integral, fica

∫ 0 ∞ t n e - s t d t = n ( n - 1 ) s 2 ∫ 0 + ∞ t n - 2   e - s t   d t

Aí, tu vai fazendo, vai fazendo até o expoente de t dentro da integral ficar nulo! Aí a nossa integral fica com a seguinte cara

∫ 0 ∞ t n e - s t d t = n n - 1 ⋯ 2 ⋅ 1 s n ∫ 0 + ∞ e - s t   d t

Reconhece o numerado aí? É um fatorial! n ! = n n - 1 … 2 ⋅ 1

∫ 0 ∞ t n e - s t d t = n ! s n ∫ 0 + ∞ e - s t   d t

Agora, basta resolver a última integral

∫ 0 + ∞ e - s t   d t = l i m A → + ∞ ∫ 0 A e - s t   d t

= l i m A → + ∞ - e - s t s 0 A = l i m A → + ∞ - 1 s e s t 0 A

= l i m A → + ∞ - 1 s e s A + 1 s e s 0 = 1 s

Substituindo de volta

∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = n ! s n ∫ 0 + ∞ e - s t   d t

∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = n ! s n ⋅ 1 s

∫ 0 + ∞ e - s t   t n   d t = n ! s n + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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