Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 8
Determine o valor, ou valores, de c que satisfazem a equação:
Que consta da conclusão do teorema de valor médio para
Passo 1
Primeiro, substituiremos os valores na fórmula de valor médio.
Em seguida, derivaremos a função dada e igualaremos ao valor encontrado no passo anterior.
Terminado isso, concluiremos os valores para os quais a equação é satisfeita.
Passo 2
Substituindo os valores do intervalo na função, temos:
Substituindo na fórmula de valor médio:
Passo 3
Resolvendo a derivada, temos:
Para o valor médio teremos:
Em :
se encontra fora do intervalo estipulado, portanto de , apenas , atende ao teorema do valor médio.
Em :
Resposta
O teorema do valor médio é atendido por
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Mostre que, se f for diferenciável em um intervalo aberto e se f ' x ≠ 0 no intervalo, a equação f x = 0 pode ter no máximo uma raiz no intervalo.
Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:A equação x 3 + 4 x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:(b) Se b 2 - 3 a c0 e se a ≠ 0 , então a equação a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 Tem exatamente uma raiz real.
Use o fato de que d [ x l n 2 - x ] d x = ln 2 - x - x 2 - x Para mostrar que a equação x = 2 - x l n ( 2 - x ) tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0,1 ) .
Reveja as Fórmulas (8) e (9) da Seção 2.1 e use o Teorema de Valor Médio para mostrar que, se f for diferenciável em ( - ∞ ,+∞ ) , então em qualquer intervalo [ x 0 , x 1 ] há pelo menos um ponto em (