Sejam alpha e s, s > 0 , reais dados. Verifique que

∫ 0 + ∞ e - s t   t   d t = 1 s 2

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - s t   t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   t   d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral usando a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Neste caso nossas funções são

f = t g ' = e - s t   →   f ' = 1 g = - e - s t s

Então

∫ e - s t   t   d t = - t e - s t s + 1 s ∫ e - s t   d t

∫ e - s t   t   d t = - t e - s t s - e - s t s 2 + C

No limite

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t   t   d t = lim A → + ∞ ⁡ - t e - s t s - e - s t s 2 0 A

= lim A → + ∞ ⁡ - t s e s t - 1 s 2 e s t 0 A

Passo 3

Substituindo os limites de integração

= lim A → + ∞ ⁡ - A s e s A - 1 s 2 e s A + 0 s e 0 + 1 s 2 e 0

Vamos calcular o limite de cada fração separado

l i m A → + ∞ A s e s A

Utilizando L’Hospital

= l i m A → + ∞ 1 s 2 e s A = 0

O segundo limite já foi calculado por tabela, então sobram somente as constantes, logo

∫ 0 + ∞ e - s t   t   d t = 0 s e 0 + 1 s 2 e 0

= 1 s 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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