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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 18

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 + ∞ e - x cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos começar calculando:

∫ 0 + ∞ e - x cos ⁡ x d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 0 + ∞ e - x cos ⁡ x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b e - x cos ⁡ x d x

E calcular integral separadamente.

∫ e - x cos ⁡ x d x

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ e - x cos ⁡ x d x

Vamos usar a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Lembra do LIATE?Vamos ter uma trigonométrica ali, então:

u = cos ⁡ x → d u = - sen ⁡ x

d v = e - x d x → v = - e - x

Nossa integral vai ficar:

∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x sen ⁡ x d x

Caimos em outra integral chata.

Passo 3

Vamos resolvê-la agora:

∫ e - x sen ⁡ x d x

Vamos usar a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Lembra do LIATE?Vamos ter uma trigonométrica ali, então:

u = sen ⁡ x → d u = cos ⁡ x

d v = e - x d x → v = - e - x

∫ e - x sen ⁡ x d x = - e - x sen ⁡ x + ∫ e - x cos ⁡ x d x

Opa, chegamos na integral que tínhamos no inicio. Vamos substituir isso na nossa expressão inicial:

∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x - - e - x sen ⁡ x + ∫ e - x cos ⁡ x d x

∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x - e - x sen ⁡ x - ∫ e - x cos ⁡ x d x

2 ∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x - e - x sen ⁡ x

∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x - e - x sen ⁡ x 2 = - e - x cos ⁡ x + sen ⁡ x 2

Passo 4

Voltando para o nosso limite

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b e - x cos ⁡ x d x = lim b → + ∞ ⁡ - e - x cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 0 b =

lim b → + ∞ ⁡ - e - b cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 - - e - 0 cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0 2 =

lim b → + ∞ ⁡ - e - b cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 + 1 2 =

Passo 5

Para resolvermos aquele limite, vamos usar o teorema do sanduiche:

- 1 ≤ cos ⁡ b ≤ 1

- 1 ≤ sen ⁡ b ≤ 1

Somando as duas inequações

- 2 ≤ cos ⁡ b + sen ⁡ b ≤ 2

dividindo por 2

- 1 ≤ cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 ≤ 1

Multiplicando por - e - b

- e - b ≤ - e - b cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 ≤ e - b

Como

lim b → + ∞ ⁡ e - b = 0

Teremos

lim b → + ∞ ⁡ - e - b ≤ lim b → + ∞ ⁡ - e - b cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 ≤ lim b → + ∞ ⁡ e - b

0 ≤ lim b → + ∞ ⁡ - e - b cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 ≤ 0

Então:

lim b → + ∞ ⁡ - e - b cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 = 0

Passo 6

Juntando tudo

lim b → + ∞ ⁡ - e - b cos ⁡ b + sen ⁡ b 2 + 1 2 = 0 + 1 2 = 1 2

Logo nossa integral converge

Resposta

1 2

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