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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 14

Calcule a Integral abaixo:

14 - int_0^((pi)/(2)) s e n^2 x d x

Passo 1

Dado pela identidade trigonométrica, s e n^2 x = (1 - cos ( 2 x ))/(2)

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

Assim teremos:

int_0^((pi)/(2)) (1 - c o s ( 2 x ))/(2) d x

Vamos realizar por partes, mas antes considerar a integral como indefinida e separar o (1)/(2) da função, veja:

int (1)/(2) * ( 1 - cos 2 x ) d x = (1)/(2) int 1 - cos 2 x d x

(1)/(2) [int 1 d x - int cos 2 x d x]

Dado int 1 d x = x

(1)/(2) [x - int cos 2 x d x]

No próximo passo vamos resolver a integral: int cos 2 x d x , observe:

Passo 2

u = 2 x

d u = 2

d x = (1)/(d u) = (1)/(2)

int (1)/(2) * cos (u) d u

(1)/(2) int cos (u) d u

Dado: int cos (u) d u = s e n (u) + c

Assim:

(s e n ( u ))/(2) + c = (s e n ( 2 x ))/(2) + c

Juntando as equações:

(1)/(2) [x - (s e n ( 2 x ))/(2)]

Passo 3

Resolvendo a integral como definida: (1)/(2) [x - (s e n (2 x))/(2)]_0^((pi)/(2))

(1)/(2) ([(pi)/(2) - (s e n ((2 pi)/(2)))/(2)] - [(0)/(2) - (s e n (2 * 0))/(2)]) = (1)/(2) ([(pi)/(2) - (s e n (pi))/(2)] - [0 - (s e n (0))/(2)])

Resolvendo as equações, dado: s e n (pi) = 0 e s e n (0) = 0

(1)/(2) ([(pi)/(2) - (0)/(2)] - [0 - (0)/(2)]) = (1)/(2) ([(pi)/(2) - 0] - 0) = (1)/(2) ([(pi)/(2)]) = (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

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