Calcule a Integral abaixo:

14 - ∫ 0 π 2 s e n 2 x     d x

Passo 1

Dado pela identidade trigonométrica, s e n 2 x = 1   -  cos ⁡ ( 2 x ) 2

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

Assim teremos:

∫ 0 π 2 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2 d x

Vamos realizar por partes, mas antes considerar a integral como indefinida e separar o 1 2 da função, veja:

∫ 1 2 ⋅ ( 1 - cos ⁡ 2 x )   d x = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 x   d x

1 2 ∫ 1 d x - ∫ cos ⁡ 2 x   d x

Dado ∫ 1   d x = x

1 2 x - ∫ cos ⁡ 2 x   d x

No próximo passo vamos resolver a integral: ∫ cos ⁡ 2 x   d x , observe:

Passo 2

u = 2 x

d u = 2

d x = 1 d u = 1 2

∫ 1 2 * cos ⁡ u d u

1 2 ∫ cos ⁡ u d u

Dado: ∫ cos ⁡ u d u = s e n u + c

Assim:

s e n   ( u ) 2 + c = s e n   ( 2 x ) 2 + c

Juntando as equações:

1 2 x - s e n   ( 2 x ) 2

Passo 3

Resolvendo a integral como definida: 1 2 x - s e n   2 x 2 0 π 2

1 2 π 2 - s e n   2 π 2 2 - 0 2 - s e n 2 ⋅ 0 2   = 1 2 π 2 - s e n   π 2 - 0 - s e n 0 2    

Resolvendo as equações, dado: s e n π = 0   e s e n 0 = 0

1 2 π 2 - 0 2 - 0 - 0 2   = 1 2 π 2 - 0 - 0 = 1 2 π 2 = π 4

Resposta

π 4

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