Resolve a integral abaixo:

23 –

∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ x 2 d x

Passo 1

Primeiramente é relembrar da identidade trigonométrica de:

1 - cos ⁡ x 2 = s e n 2 x 2

Substituindo na integral temos:

∫ 0 2 π s e n 2 x 2 d x

Passo 2

De acordo com a matemática básica, podemos cortar a potência de seno com o radical, observe:

∫ 0 2 π s e n 2 x 2 2 d x =   ∫ 0 2 π s e n x 2 d x

Utilizando a substituição udu, temos:

u = x 2

d u = f ' x ⋅ g x - f x ⋅ g ' x g x 2 ,   d a d o : f x = x   e   g x = 2

d u = 1 ⋅ 2 - 1 ⋅ 2 2 2 = 2 4 = 1 2 ,   l o g o : d u = 1 2

d x = 1 d u = 1 1 2 = 1 ⋅ 2 1 = 2

Inserindo na integral:

∫ 0 2 π 2 ⋅ s e n u d u =   2 ∫ 0 2 π s e n u d u

Dado: ∫ s e n   u d u = - cos ⁡ u + c

Assim:

2 - cos ⁡ u + c 0 2 π

Dado: u = x 2 , temos:

2 - cos ⁡ x 2 + c 0 2 π

Passo 3

2 - cos ⁡ x 2 + c 0 2 π

Realizando os limites de integração:

2 - cos ⁡ 2 π 2 + c - - cos ⁡ 0 2 + c

2 - cos ⁡ π + c + cos ⁡ 0 - c

Dado: cos ⁡ π = - 1   e cos ⁡ 0 = 1

2 - - 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 2 = 4

Resposta

4

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