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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 23

Resolve a integral abaixo:

23 –

int_0^(2 pi) sqrt((1 - cos x)/(2)) d x

Passo 1

Primeiramente é relembrar da identidade trigonométrica de:

(1 - cos x)/(2) = |s e n^2 ((x)/(2))|

Substituindo na integral temos:

int_0^(2 pi) sqrt(s e n^2 ((x)/(2))) d x

Passo 2

De acordo com a matemática básica, podemos cortar a potência de seno com o radical, observe:

int_0^(2 pi) root(2)(s e n^2 ((x)/(2))) d x = int_0^(2 pi) s e n ((x)/(2)) d x

Utilizando a substituição udu, temos:

u = (x)/(2)

d u = (f^' (x) * g (x) - f (x) * g^' (x))/(g (x)^2) , d a d o : f (x) = x e g (x) = 2

d u = (1 * 2 - 1 * 2)/(2^2) = (2)/(4) = (1)/(2) , l o g o : d u = (1)/(2)

d x = (1)/(d u) = (1)/((1)/(2)) = 1 * (2)/(1) = 2

Inserindo na integral:

int_0^(2 pi) 2 * s e n (u) d u = 2 int_0^(2 pi) s e n (u) d u

Dado: int s e n (u) d u = - cos (u) + c

Assim:

2 [- cos (u) + c]_0^(2 pi)

Dado: u = (x)/(2) , temos:

2 [- cos ((x)/(2)) + c]_0^(2 pi)

Passo 3

2 [- cos ((x)/(2)) + c]_0^(2 pi)

Realizando os limites de integração:

2 [(- cos ((2 pi)/(2)) + c - (- cos ((0)/(2)) + c))]

2 [(- cos (pi) + c + cos (0) - c)]

Dado: cos (pi) = - 1 e cos (0) = 1

2 [- (- 1) + 1] = 2 [1 + 1] = 2 [2] = 4

Resposta

4

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