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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 15

Calcule a Integral abaixo:

15 - int_0^((pi)/(2)) s e n^7 y d y

Passo 1

Primeiramente vamos expandir a integral:

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 y * s e n^2 y * s e n^2 y * s e n y d y

Dado pela identidade trigonométrica, s e n^2 y = 1 - cos^2 y

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

Assim teremos:

int_0^((pi)/(2)) ( 1 - cos^2 y ) ( 1 - cos^2 y ) ( 1 - cos^2 y ) s e n y d y

Organizando as multiplicações, teremos:

int_0^((pi)/(2)) ( 1 - cos^2 y )^3 s e n y d y

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = cos y

d u = - s e n y

d x = (1)/(d u) = (1)/(- s e n y)

Substituindo na integral, temos:

int_0^((pi)/(2)) (1 - u^2)^3 * s e n y * (1)/(- s e n y) d u = int_0^((pi)/(2)) (1 - u^2)^3 * (s e n y)/(- s e n y) d y = int_0^((pi)/(2)) - (1 - u^2)^3 d u

Resolvendo o produto notável: (1 - u^2)^3 = - u^6 + 3 u^4 - 3 u^2 + 1

int_0^((pi)/(2)) - ( - u^6 + 3 u^4 - 3 u^2 + 1 ) d u = int_0^((pi)/(2)) ( u^6 - 3 u^4 + 3 u^2 - 1 ) d u

Passo 2

Resolvendo a integral como indefinida e por partes:

int u^6 d u - 3 int u^4 d u + 3 int u^2 d u - int 1 d u

Deste modo teremos:

(u^7)/(7) - 3 * ((u^5)/(5)) + 3 * ((u^3)/(3)) - u + c

Tirando da substituição, dado: u = cos y

(c o s^7 y)/(7) - (3 cos^5 y)/(5) + (3 cos^3 y)/(3) - cos y + c

Passo 3

Resolvendo com os limites definidos: [(c o s^7 y)/(7) - (3 cos^5 y)/(5) + (3 cos^3 y)/(3) - cos y]_0^((pi)/(2))

([(c o s^7 ((pi)/(2)))/(7) - (3 cos^5 ((pi)/(2)))/(5) + (3 cos^3 ((pi)/(2)))/(3) - cos ((pi)/(2))] - [(c o s^7 (0))/(7) - (3 cos^5 (0))/(5) + (3 cos^3 (0))/(3) - cos (0)])

Resolvendo as equações, dado: c o s ((pi)/(2)) = 0 e c o s (0) = 1

Deste modo teremos:

([(0)/(7) - (3 * 0)/(5) + (3 * 0)/(3) - 0] - [(1)/(7) - (3 * 1)/(5) + (3 * 1)/(3) - 1]) = (0 - [(1)/(7) - (3)/(5) + (3)/(3) - 1])

Assim teremos:

(- (1)/(7) + (3)/(5) - 1 + 1) m.m.c (7,5) = 35

(- 5 + 21)/(35) = (16)/(35)

Resposta

(16)/(35)

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