Calcule a Integral abaixo:

15 - ∫ 0 π 2 s e n 7 y     d y

Passo 1

Primeiramente vamos expandir a integral:

∫ 0 π 2 s e n 2 y ⋅ s e n 2 y ⋅ s e n 2 y ⋅ s e n   y     d y

Dado pela identidade trigonométrica, s e n 2 y = 1 - cos 2 ⁡ y

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

Assim teremos:

∫ 0 π 2 ( 1 - cos 2 ⁡ y ) ( 1 - cos 2 ⁡ y ) ( 1 - cos 2 ⁡ y ) s e n   y   d y

Organizando as multiplicações, teremos:

∫ 0 π 2 ( 1 - cos 2 ⁡ y ) 3 s e n   y   d y

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = cos ⁡ y

d u = - s e n   y

d x = 1 d u = 1 - s e n   y

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 π 2 1 - u 2 3 ⋅ s e n   y ⋅ 1 - s e n   y d u = ∫ 0 π 2 1 - u 2 3 ⋅ s e n   y - s e n   y d y = ∫ 0 π 2 - 1 - u 2 3 d u

Resolvendo o produto notável: 1 - u 2 3 = - u 6 + 3 u 4 - 3 u 2 + 1

∫ 0 π 2 - ( - u 6 + 3 u 4 - 3 u 2 + 1 )   d u = ∫ 0 π 2 ( u 6 - 3 u 4 + 3 u 2 - 1 )   d u  

Passo 2

Resolvendo a integral como indefinida e por partes:

∫ u 6   d u - 3   ∫ u 4 d u + 3 ∫ u 2 d u - ∫ 1   d u

Deste modo teremos:

u 7 7 - 3 ⋅ u 5 5 + 3 ⋅ u 3 3 - u + c

Tirando da substituição, dado: u = cos ⁡ y

c o s 7 y 7 - 3 cos 5 ⁡ y 5 + 3 cos 3 ⁡ y 3 - cos ⁡ y + c

Passo 3

Resolvendo com os limites definidos: c o s 7 y 7 - 3 cos 5 ⁡ y 5 + 3 cos 3 ⁡ y 3 - cos ⁡ y 0 π 2

c o s 7 π 2 7 - 3 cos 5 ⁡ π 2 5 + 3 cos 3 ⁡ π 2 3 - cos ⁡ π 2 - c o s 7 0 7 - 3 cos 5 ⁡ 0 5 + 3 cos 3 ⁡ 0 3 - cos ⁡ 0    

Resolvendo as equações, dado: c o s π 2 = 0   e c o s 0 = 1

Deste modo teremos:

0 7 - 3 * 0 5 + 3 * 0 3 - 0 - 1 7 - 3 * 1 5 + 3 * 1 3 - 1 = 0 - 1 7 - 3 5 + 3 3 - 1

Assim teremos:

- 1 7 + 3 5 - 1 + 1 m.m.c (7,5) = 35

- 5 + 21 35 = 16 35

Resposta

16 35

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