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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 17

Calcule a Integral abaixo:

17 - int_0^(pi) 8 s e n^4 x d x

Passo 1

Observação: Neste passo vamos considerar a integral dada como indefinida!

Vamos explicar uma propriedade de integral, utilizada para int s e n^n (x) d x , observe:

int s e n^n x d x = - (1)/(n) * s e n^(n - 1) x * cos x + (n - 1)/(n) * int s e n^(n - 2) x d x

7 int cos^2 t + cos^2 t + cos^2 t + cos t d t

Vamos colocar em prática na integral indicada, vamos lá:

int 8 s e n^4 x d x = 8 (- (1)/(4) * s e n^(4 - 1) x * cos x + (4 - 1)/(4) * int s e n^(4 - 2) x d x)

Observe que como o 8 estava multiplicando a integral, ele foi colocado para fora, multiplicando toda a fórmula utilizada, agora desenvolveremos a expressão acima:

8 (- (1)/(4) s e n^3 x * cos x + (3)/(4) * int s e n^2 x d x)

Agora que temos a expressão quase pronta, vamos resolver a integral de int s e n^2 x d x :

Dado pela identidade trigonométrica, s e n^2 x = (1 - cos ( 2 x ))/(2)

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

int (1)/(2) * ( 1 - cos 2 x ) d x = (1)/(2) int 1 - cos 2 x d x

(1)/(2) [int 1 d x - int cos 2 x d x]

Dado int 1 d x = x

(1)/(2) [x - int cos 2 x d x]

Resolvendo agora int cos 2 x d x

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

Passo 2

u = 2 x

d u = 2

d x = (1)/(d u) = (1)/(2)

int (1)/(2) * cos (u) d u

(1)/(2) int cos (u) d u

Dado: int cos (u) d u = s e n (u) + c

Assim:

(s e n ( u ))/(2) + c = (s e n ( 2 x ))/(2) + c

Juntando as equações:

(1)/(2) [x - (s e n ( 2 x ))/(2)]

Montando nossa expressão inicial:

8 (- (1)/(4) s e n^3 x * cos x + (3)/(4) * ((1)/(2) [x - (s e n ( 2 x ))/(2)])) = 8 (- (s e n^3 x)/(4) * cos (x) + (3)/(4) * ((x)/(2) - (s e n (2 x))/(4)))

Resolvendo a multiplicação de (3)/(4) pela expressão teremos:

8 (- (s e n^3 x)/(4) * cos (x) + ((3 x)/(8) - (3 s e n (2 x))/(16)))

Passo 3

Multiplicando a expressão por 8:

- (8 s e n^3 x)/(4) * cos (x) + (8 * 3 x)/(8) - (8 * 3 s e n (2 x))/(16) + c = - 2 s e n^3 x * cos x + 3 x - (3 s e n (2 x))/(2) + c

Agora vamos definir o limite de integração na expressão dada:

[- 2 s e n^3 x * cos x + 3 x - (3 s e n (2 x))/(2) + c]_0^(pi)

([- 2 s e n^3 (pi) * cos (pi) + 3 (pi) - (3 s e n (2 pi))/(2) + c] - [- 2 s e n^3 0 * cos 0 + 3 * 0 - (3 s e n (0))/(2)] + c)

Passo 4

Seja cos (pi) = - 1 ; cos (0) = 1 ; s e n (pi) = 0 ; s e n (0) = 0 , teremos:

([- 2 * 0 * - 1 + 3 pi - (3 * 0)/(2) + c] - [- 2 * 0 * 1 + 0 - (3 * 0)/(2)] + c)

Resolvendo:

0 + 3 pi - 0 + c + 0 - 0 + 0 - c

Resposta

Logo a resposta correta é 3 pi

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