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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 12

Calcule a Integral abaixo:

12 - int cos^3 2 x sen^5 2 x d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

int sen^5 x * cos^2 2 x * cos 2 x d x

Dado pela identidade trigonométrica, cos^2 2 x = 1 - sen^2 2 x

Assim teremos:

int sen^5 2 x * (1 - s e n^2 2 x) * cos 2 x d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = s e n 2 x

d u = 2 c o s 2 x

d x = (1)/(d u) = (1)/(2 c o s 2 x)

Substituindo teremos:

int s e n^5 2 x ( 1 - sen^2 2 x ) * cos 2 x * (1)/(2 c o s 2 x) d u

Resolvendo a integral temos:

int s e n^5 2 x ( 1 - sen^2 2 x ) (cos 2 x)/(2 cos 2 x) d u

Substituindo por udu, teremos:

int (1)/(2) u^5 (1 - u^2) d u = (1)/(2) int u^5 - u^7 d x

Passo 2

Resolvendo a integral:

(1)/(2) ((u^6)/(6) - (u^8)/(8) + c)

Substituindo para u = s e n 2 x

(1)/(2) ((s e n^6 2 x)/(6) - (s e n^8 2 x)/(8) + c)

Passo 3

Resolvendo a multiplicação de (1)/(2) pelos termos teremos:

(s e n^6 2 x)/(12) - (s e n^8 2 x)/(16) + c

Resposta

(s e n^6 2 x)/(12) - (s e n^8 2 x)/(16) + c

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s) ∫ π 3 π 2 s e n x s e n 2 xd x
p) ∫ 0 π 3 s e n x cos 2 ⁡ x d x
u)∫ 0 π 6 cos 3 ⁡ xd x
b) ∫ 0 1 x x 2 + 3 5d x
r) ∫ π 3 π 2 s e n x ( 1 - cos 2 ⁡ x )d x