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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 08

Calcule a Integral abaixo:

8 - int_0^(pi) s e n^5 ((x)/(2)) d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

int_0^(pi) s e n^2 ((x)/(2)) s e n^2 ((x)/(2)) s e n ((x)/(2)) d x

Dado pela identidade trigonométrica, s e n^2 ((x)/(2)) = 1 - cos^2 ((x)/(2))

Assim teremos:

int (1 - cos^2 ((x)/(2))) (1 - cos^2 ((x)/(2))) s e n ((x)/(2)) d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = cos ((x)/(2))

d u = - (s e n ((x)/(2)))/(2)

d x = (1)/(d u) = - (1)/((s e n ((x)/(2)))/(2)) = - (2)/(s e n ((x)/(2)))

Substituindo teremos:

int_0^(pi) (1 - u^2) (1 - u^2) * s e n ((x)/(2)) * - (2)/(s e n ((x)/(2))) d u

Resolvendo a integral temos:

int_0^(pi) (u^4 - 2 u^2 + 1) * - (2 s e n ((x)/(2)))/(s e n ((x)/(2))) d u

int_0^(pi) - 2 (u^4 - 2 u^2 + 1) d u

Substituindo por udu, teremos:

int_0^(pi) - 2 u^4 + 4 u^2 - 2 d u

Passo 2

Resolvendo a integral de forma indefinida:

- (2 u^5)/(5) + (4 u^3)/(3) - 2 u + c

Substituindo para u = cos ((x)/(2))

- (2 cos^5 ((x)/(2)))/(5) + (4 cos^3 ((x)/(2)))/(3) - 2 cos ((x)/(2)) + c

Passo 3

Resolvendo a integral como definida: [- (2 cos^5 ((x)/(2)))/(5) + (4 cos^3 ((x)/(2)))/(3) - 2 cos ((x)/(2)) + c]_0^(pi) =

- (2 cos^5 ((pi)/(2)))/(5) + (4 cos^3 ((pi)/(2)))/(3) - 2 cos ((pi)/(2)) + c - [- (2 cos^5 ((0)/(2)))/(5) + (4 cos^3 ((0)/(2)))/(3) - 2 cos ((0)/(2)) + c]

Seja cos ((pi)/(2)) = 0 e cos (0) = 1

- (2 (0))/(5) + (4 (0))/(3) - 2 (0) + C - [- (2 ( 1 ))/(5) + (4 ( 1 ))/(3) - 2 ( 1 ) + c]

Resolvendo os cálculos teremos:

- (0)/(5) + (0)/(3) - 0 + c + (2)/(5) - (4)/(3) + 2 - c

(2)/(5) - (4)/(3) + 2 =

(6)/(15) - (20)/(15) + (30)/(15) = (16)/(15)

Resposta

(16)/(15)

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