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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 27

Resolve a integral abaixo:

27 –

int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n^2 x)/(sqrt(1 - cos x)) d x

Passo 1

Vamos aos passos deste exercício, primeiramente, multiplicaremos os numerador e o denominador por sqrt(1 + cos x)

int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) (s e n^2 x)/(sqrt(1 - cos x)) * (sqrt(1 + cos x))/(sqrt(1 + cos x)) d x =

Fazendo por partes as multiplicações:

s e n^2 x * sqrt(1 + cos x) = s e n^2 x sqrt(1 + cos x) e

sqrt(1 - cos x) * sqrt(1 + cos x) = (a - b) (a + b) = a^2 - b^2 , a s s i m = sqrt(1 - cos^2 x)

Deste modo temos:

int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n^2 x sqrt(1 + cos x))/(sqrt(1 - cos^2 x)) d x

Dada a identidade trigonométrica:

s e n^2 x = 1 - cos^2 x assim temos:

int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n^2 x sqrt(1 + cos x))/(root(2)(s e n^2 x)) d x = int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n^2 x sqrt(1 + cos x))/(s e n x) d x

Simplificano o seno temos: (s e n^2 x)/(s e n^1 x) = s e n^(2 - 1) x = s e n x

int_(pi // 3)^(pi // 2) s e n x sqrt(1 + cos x ) d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral pelo método de substituição udu:

u = 1 + cos x

d u = - s e n x

d x = (1)/(d u) = - (1)/(s e n x)

Substituindo na integral:

int_(pi // 3)^(pi // 2) s e n x sqrt(u) * - (1)/(s e n x) d x = int_(pi // 3)^(pi // 2) sqrt(u) * - (s e n x)/(s e n x) d x = int_(pi // 3)^(pi // 2) sqrt(u) * - 1 d x = - int_(pi // 3)^(pi // 2) sqrt(u) d x

Dada a propriedade de potencia em que:

sqrt(u) = u^((1)/(2))

- int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) u^((1)/(2)) d x

Resolvendo a integral como indefinida:

- int u^((1)/(2)) d u = - ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) = - (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = - u^((3)/(2)) * (2)/(3) = - (2 u^((3)/(2)))/(3) + c

Para u = 1 + cos x temos:

- (2 root(2)(( 1 + cos x )^3))/(3) + c

Temos que: ( 1 + cos x )^3 = ( 1 + cos x )^2 * ( 1 + cos x )

- (2 sqrt(1 + cos x) * root(2)(( 1 + cos x )^2))/(3) = - (2 ( 1 + cos x ) * sqrt(1 + cos x))/(3) = - (2)/(3) ( 1 + cos x ) * sqrt(1 + cos x) + c

Passo 3

Realizando os limites de integração:

[- (2)/(3) ( 1 + cos x ) * sqrt(1 + cos x) + c]_(pi // 3)^(pi // 2)

Substituindo os limites de integração:

(- (2)/(3) (1 + cos ((pi)/(2))) * sqrt(1 + cos ((pi)/(2))) + c) - (- (2)/(3) (1 + cos ((pi)/(3))) * sqrt(1 + cos ((pi)/(3))) + c)

Dado: cos ((pi)/(2)) = 0 e c o s ((pi)/(3)) = (1)/(2)

Substituindo:

(- (2)/(3) (1 + 0) * sqrt(1 + 0) + c) - (- (2)/(3) (1 + (1)/(2)) * sqrt(1 + (1)/(2)) + c)

(- (2)/(3) + c) - ((- (2)/(3) - (2)/(6)) * sqrt((3)/(2)) + c) = - (2)/(3) + c + ((2)/(3) + (2)/(6)) * sqrt((3)/(2)) - c

Organizando os temos:

Mmc (3,6) = 6

- (2)/(3) + (6)/(6) * sqrt((3)/(2)) = - (2)/(3) + sqrt((3)/(2))

Resposta

- (2)/(3) + sqrt((3)/(2))

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