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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 28

Resolve a integral abaixo:

28 –

∫ 0 π / 6 1 + s e n   x   d x

Dica: Multiplique por

1   -   s e n   x 1 - s e n   x

Passo 1

∫ 0 π / 6 1 + s e n   x   d x

Utilizando a dica do enunciado, vamos multiplicar:

∫ 0 π 6 1 + s e n   x ⋅ 1 - s e n   x 1 - s e n   x d x

Resolvendo a multiplicação:

a + b a - b = a 2 - b 2 = 1 - s e n 2 x 1 - s e n   x

Inserindo na integral:

∫ 0 π 6 1 - s e n 2 x 1 - s e n   x d x

Dado: cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Substituindo temos:

∫ 0 π 6 cos 2 ⁡ x 2 1 - s e n   x d x =   ∫ 0 π 6 cos ⁡ x 1 - s e n   x d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral pelo método de substituição udu:

u = 1 - sen ⁡ x

d u =   - c o s   x

d x = 1 d u =   - 1 c o s   x

Substituindo na integral:

∫ 0 π 6 cos ⁡ x u ⋅   - 1 cos ⁡ x d u =   ∫ 0 π 6 1 u ⋅ - cos ⁡ x cos ⁡ x   d u =   ∫ 0 π 6 - 1 u d u =   -   ∫ 0 π / 6 1 u d u

Dada a propriedade de potencia em que:

1 u = 1 u 1 2 = u - 1 2

- ∫ 0 π 6 u - 1 2   d x

Resolvendo a integral como indefinida:

- ∫ u - 1 2 d u =   - u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 =   - u 1 2 1 2 = - u 1 2 ⋅ 2 1 =   - 2 u 1 2 1 + c =   - 2 u 1 2 + c

Para u = 1 – sen x temos:

- 2 1 - s e n   x + c

Passo 3

Realizando os limites de integração:

- 2 1 - s e n   x 0 π / 6

Substituindo os limites de integração:

- 2 1 - s e n   π 6 + c - - 2 1 - s e n   0 + c

Dado: sen ⁡ π 6 = 1 2   e   s e n 0 = 0

Substituindo:

- 2 1 - 1 2 - - 2 1 - 0 + c = - 2   1 2 + c - - 2 + c = - 2 1 2 + c + 2 - c  

Organizando os temos:

- 2 1 2 + 2 =   - 2 ⋅ 1 2 + 2 =   - 2 * 1 2 + 2 =   - 2 2 + 2  

Racionalizando a fração:

- 2 2 ⋅ 2 2 + 2 = - 2 2 2 + 2 =   - 2 + 2 = 2 -   2

Resposta

2 -   2

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