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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 07

Calcule a Integral abaixo:

7 - int s e n^5 x d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

int s e n^2 x s e n^2 x s e n x d x

Dado pela identidade trigonométrica, s e n^2 x = 1 - cos^2 x

Assim teremos:

int ( 1 - cos^2 x ) ( 1 - cos^2 x ) s e n x d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = cos x

d u = - s e n x

d x = (1)/(d u) = (1)/(s e n x)

Substituindo teremos:

int (1 - u^2) (1 - u^2) * s e n x * - (1)/(s e n x) d u

Resolvendo a integral temos:

int (u^4 - 2 u^2 + 1) * - (s e n x)/(s e n x) d u

int - (u^4 - 2 u^2 + 1) d u

Substituindo por udu, teremos:

int - u^4 + 2 u^2 - 1 d u

Passo 2

Resolvendo a integral:

- (u^5)/(5) + (2 u^3)/(3) - u + c

Substituindo para u = cos x

- (cos^5 x)/(5) + (2 cos^3 x)/(3) - cos x + c

Resposta

- (cos^5 x)/(5) + (2 cos^3 x)/(3) - cos x + c

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