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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 69

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

6 9 . ∫ - 2 2 3 x 2 d x 16 - x 2 3 2  

Passo 1

Vamos começar usando substituição trigonométrica de modo que:

x =   4 s e n   u ⇒ d x = 4 cos ⁡ u   d u

Como x = 4 s e n   u , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

x = 4 s e n   u quando x = - 2 , u = - π 6

x = 4 s e n   u quando x = 2 3 , u = π 3

Então, nossa integral ficará:

∫ - π 6 π 3 16 s e n 2 u ⋅ 4 cos ⁡ u   d u 16 - 16 s e n 2 u 3 2

Passo 2

Simplificando um pouco:

∫ - π 6 π 3 16 s e n 2 u ⋅ 4 cos ⁡ u   d u 4 2 cos 2 ⁡ u 3 2 =   ∫ - π 6 π 3 16 s e n 2 u ⋅ 4 cos ⁡ u   d u 4 3 cos 3 ⁡ u

= ∫ - π 6 π 3 4 s e n 2 u cos ⁡ u   d u 4 cos 3 ⁡ u

Passo 3

Usaremos a identidade trigonométrica que nos diz:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

∫ - π 6 π 3 ( 1 - cos 2 ⁡ u ) cos ⁡ u   d u cos 3 ⁡ u  

= ∫ - π 6 π 3 ( 1 - cos 2 ⁡ u ) cos 2 ⁡ u d u

= ∫ - π 6 π 3 ( sec 2 ⁡ u - 1 ) d u

= t g   u - u - π 6 π 3 = t g π 3 - t g - π 6 - π 3 + π 6

= 4 3 - π 2

Resposta

∫ - 2 2 3 x 2 d x 16 - x 2 3 2 = 4 3 - π 2

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