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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 64

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

64 . ∫ 1 2 1 1 - x x d x  

Passo 1

Sabemos que 1 - x x = 1 - x x , então vamos começar fazendo uma substituição simples na nossa integral:

u =   x ⇒ d u = 1 2 x d x

Como u = x , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

u = x quando x = 1 2 , u = 1 2

u = x quando x = 1 , u = 1

Então:

∫ 1 2 1 1 - u 2 2 d u = 2 ∫ 1 2 1 1 - u 2 d u

Passo 2

Se olharmos bem para nossa integral veremos que ela é perfeita para usarmos substituição trigonométrica, então vamos usar:

u = s e n   θ ⇒ d u = cos ⁡ θ   d θ

Como u = s e n   θ , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

u = s e n   θ ⇒   θ = a r c s e n   u , quando u = 1 2 , θ = π 4

u = s e n   θ ⇒   θ = a r c s e n   u , quando u = 1 , θ = π 2

Ou seja:

2 ∫ π 4 π 2 1 - s e n 2 θ ⋅ cos ⁡ θ   d θ = 2 ∫ π 4 π 2 c o s 2 θ ⋅ cos ⁡ θ   d θ

= 2 ∫ π 4 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 3

Como o expoente da nossa integral é par, iremos usar a identidade trigonométrica que nos diz que:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ   2

2 ∫ π 4 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ   2 d θ   = 2 ∫ π 4 π 2 1   2 ⁡   d θ + 2 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ 2 θ   2 ⁡   d θ  

= θ | π 4 π 2 + ∫ π 4 π 2 cos ⁡ 2 θ ⁡   d θ

Passo 4

Vamos resolver separadamente a última integral através de uma substituição:

v = 2 θ ⇒ d v = 2   d θ  

Como v = 2 θ , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

v = 2 θ , quando θ = π 4 , θ = π 2

v = 2 θ , quando θ = π 2 , θ = π

Então:

∫ π 2 π cos ⁡ v 2 ⁡   d v = s e n   v 2 π 2 π

Passo 5

Juntando tudo temos que:

θ | π 4 π 2 + s e n   v 2 π 2 π = π 2 - π 4 + s e n   π 2 - s e n   π 2 2

= π 4 - 1 2 = 1 4 ( π - 2 )

Resposta

∫ 1 2 1 1 - x x d x = 1 4 ( π - 2 )

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