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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 61

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

61 . ∫ x n ln ⁡ x d x

Passo 1

Fique calmo, essa integral só tem cara de complicada, mas ela se resolve facilmente com integral por partes.

Passo 2

Integração por partes:

∫ f   g ' d x = f ⋅ g - ∫ f ' g   d x

Onde:

f = ln ⁡ x           g ' = x n

f ' = 1 x d x           g = x n + 1 n + 1

Passo 3

Assim, nossa integral fica:

∫ x n ln ⁡ x d x = ln ⁡ x ⋅ x n + 1 n + 1 - 1 n + 1 ∫ x n + 1 x d x  

= ln ⁡ x ⋅ x n + 1 n + 1 - 1 n + 1 ∫ x n d x

= ln ⁡ x ⋅ x n + 1 n + 1 - 1 n + 1 ⋅ x n + 1 n + 1

= ln ⁡ x ⋅ x n + 1 n + 1 - x n + 1 n + 1 2

Resposta

∫ x n ln ⁡ x d x = ln ⁡ x ⋅ x n + 1 n + 1 - x n + 1 n + 1 2 + c

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