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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 70

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

70 . ∫ 0 1 x e x 1 + x 2 d x  

Passo 1

Vamos resolver essa integral fazendo o método de integração por partes, então vamos lembrá-lo:

∫ f   d g = f ⋅ g - ∫ g   d f

Então na nossa integral:

f = x e x e d g =   1 1 + x 2

Passo 2

Integrando:

∫ 0 1 x e x 1 + x 2 d x = x e x ⋅ - 1 1 + x - ∫ - 1 1 + x ⋅   e x ⋅ x e x   d x

= x e x ⋅ - 1 1 + x - ∫ - e x ⋅ x e x 1 + x   d x

= x e x ⋅ - 1 1 + x - ∫ - e x ⋅ ( 1 + x ) 1 + x   d x

= - x e x 1 + x - - e x 0 1 = - e 2 -   0 + e - 1

= e 2 - 1  

Resposta

∫ 0 1 x e x 1 + x 2 d x =   e 2 - 1  

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