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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 2

Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada.

2. ∫ 1 sec ⁡ π x d x

Passo 1

Aqui, pelo método da substituição simples, vamos ter:

u = π x

d u = π d x

Vamos fazer uma pequena manipulação na integral, da seguinte forma, sem alterar a integral:

∫ 1 sec ⁡ π x d x = 1 π ∫ 1 sec ⁡ π x π d x

Agora, aplicamos diretamente na integral original:

1 π ∫ 1 sec ⁡ π x π d x = 1 π ∫ 1 sec ⁡ u d u

Passo 2

Sabemos que sec ⁡ u = 1 cos ⁡ u . Nisso, fica claro que 1 sec ⁡ u = cos ⁡ u . Reescrevemos nossa integral então da seguinte forma:

1 π ∫ 1 sec ⁡ u d u = 1 π ∫ cos ⁡ u d u

A integral do cosseno vale – seno. Temos:

1 π ∫ cos ⁡ u d u = 1 π - sen ⁡ u + C

Passo 3

Agora, só resta retornar à variável original:

1 π - sen ⁡ u + C = - sen ⁡ π x π + C

Resposta

∫ 1 sec ⁡ π x d x = - sen ⁡ π x π + C

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