Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 14
Um fio com 12 cm pode ser curvado formando um círculo, dobrado formando um quadrado ou cortado em duas partes formando um círculo e um quadrado. Quanto do fio deve ser usado no círculo para que a área total englobada pela(s) figura(s) seja:
(a) máxima?(b) mínima?
Passo 1
Nesse caso, partimos o fio em dois pedaços de comprimentos e . Vamos assumir que seja o comprimento do círculo e o do quadrado, formados pela manipulação do fio.
Temos que esses valores devem somar 12:.
Temos que as áreas do círculo e do quadrado, considerando os lados e são respectivamente:
Onde é o raio do círculo. Precisamos escrever em função de , o comprimento total do círculo. Temos como comprimento do círculo:
Logo:
Assim, reescrevemos a sentença da área do círculo substituindo por essa expressão:
Passo 2
Agora, a área do quadrado em função de :
Então, o somatório das áreas do círculo e do quadrado vai ser:
Agora, pra podermos trabalhar com uma função de uma só variável (variável ), usamos a relação pra escrever em função de . Daí, substituímos na expressão pra !
Temos:
Substituindo isso em , obtemos
Passo 3
Vamos trabalhar com os pontos críticos dessa função que obtivemos. Pra isso, derivamos e igualamos a derivada a zero:
Igualamos a zero:
Esse é o ponto crítico da função. Precisamos determinar se é ponto de máximo ou de mínimo. Pra isso, usamos o teste da derivada segunda. Se resultar em valor positivo, é ponto de mínimo; se valor negativo, ponto de máximo.
Derivamos outra vez:
Resultamos num número positivo. Logo, temos um ponto de mínimo! Assim, o valor de representa o comprimento do círculo que fornece o mínimo somatório de área possível, pro círculo e pro quadrado.
Passo 4
Agora, precisamos do valor de que nos dê o somatório de área máxima pra ambas as figuras.
E esse valor é o extremo do nosso intervalo possível pra , que está entre 0 e 12. não pode medir menos que 0, nem mais que 12.
Logo, é o ponto de máximo, e vai ser o comprimento do círculo que fornece o máximo somatório de área possível.
Repara que, nesse caso, valeria zero, ou seja, não construiríamos o quadrado.
Resposta
(a).
(b).