7 - 44 . Calcule a integral indefinida.

7 .   ∫ 2 x ⋅ x 2 + 3 4 d x

Passo 1

Olá, meu amigo!

Temos a seguinte integral para calcular:

∫ 2 x ⋅ x 2 + 3 4 d x

Você pode desenvolver o produto notável e realizar essa integração utilizando a regra geral para polinômio? Pode sim, mas irei te mostrar um outro caminho aqui.

Vamos fazê-la por substituição, que funciona da seguinte forma: temos a multiplicação de duas funções, a mais complicada dela, chamaremos de u . Logo em seguida iremos calcular a derivada de u em relação a x , encontrando assim nosso d u , as vezes precisamos fazer alguns ajustes para u ⋅ d u , representar nossa função. Mas esse não é o nosso caso.

Logo em seguida como temos uma integral indefinida, é partir para a integração! E aqui usaremos a primitiva da potência, lembra dela?

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

E por fim, mas não menos importante, vamos voltar u   para a nossa função original!

Esse é nosso plano, mão na massa!

Passo 2

Então bora para a substituição, a função mais complicada é a que está dentro dos parênteses, é ela que chamaremos de u

x 2 + 3 = u

Derivando-a em relação a x , e aqui usaremos a derivada da potência:

x n ' = n x n - 1

u ' = 2 x

Então teremos:

d u = 2 x ⋅ d x

Reparou como tudo bateu certinho? Agora vamos substituir na nossa integral:

∫ u 4 d u

Utilizando a regra para potência:

∫ u 4 d u = u 5 5 + C

Retornando para a variável x de origem vamos ficar com:

x 2 + 3 5 5 + C

E temos a nossa resposta!

Resposta

x 2 + 3 5 5 + C

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