Calcule a integral indefinida.

∫ cos ⁡ t t d t  

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ cos ⁡ t t d t  

Tem ideia de como fazemos isso?

Perceba que na forma como está a função da integral não vamos saber calcular essa integral.

Então para facilitar nossa vida podemos usar o método de substituição.

Esse método consiste em fazer uma mudança de variáveis do tipo:

∫ f x d x → ∫ g u d u

A ideia é substituir parte de f x para chamar de u e derivar u em relação a x para obter d u e montar nossa integral.

Encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Veja só!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f t = cos ⁡ t t

Então se chamarmos t de u , temos:

u = t

Consequentemente, derivando em relação a t pela regra da potência, temos:

d u d t = 1 2 t

E isolando d t em um lado da igualdade:

d t = 2 t d u

Agora temos que substituir t e d t na integral do problema.

∫ cos ⁡ t t d t → ∫ cos ⁡ u t 2 t d u  

Simplificando t ...

2 ∫ cos ⁡ u d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Viu como nossa integral ficou mais fácil? Para resolvê-la vamos lembrar das regras de integração de funções trigonométricas...

∫ a cos ⁡ x d x = a sin ⁡ x + C

Ou seja:

2 ∫ cos ⁡ u d u = 2 sin ⁡ u + C

Mas não podemos deixar o resultado em função de u , então temos que voltar para t .

∫ cos ⁡ t t d t = 2 sin ⁡ t + C

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ cos ⁡ t t d t = 2 sin ⁡ t + C

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