Calcule a integral ∫ 2 θ + 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 d θ

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = 2   θ + 1     ⇒ d u = z   d θ ⇒ 1 2 d u = d θ    

Passo 2

Substituindo,

  ∫   2 θ + 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 d θ = ∫   u + 2 c o s u 1 2 d u

Passo 3

Abrindo as contas, usando a regra da soma e da constante,

∫   u + 2 c o s u 1 2 d u = ∫ 1 2 u   d u + ∫   2 .   c o s u 1 2 d u = 1 2   ∫ u   d u + ∫     c o s u   d u

Passo 4

Resolvendo a integral,

∫ 1 2 u   d u + ∫   2 .   c o s u 1 2 d u = 1 2   ∫ u   d u + ∫     c o s u   d u = 1 2 . u 2 2 + s e n   u + C 1

Passo 5

Retornando a variável inicial,

u 2 4 + s e n   u + C 1 = 2 θ + 1 2 4 + s e n 2 θ + 1 + C 1

Passo 6

Vamos abrir essas contas. Você deve tá se perguntando porquê. Então, chamamos a nossa constante de C 1 , porque ela não é nossa constante final, ainda há constantes embutidas na conta, como elas não fazem diferença na derivada, vamos descartar todas, chamando de C.

= 2 θ + 1 2 4 + s e n 2 θ + 1 + C 1 = θ 2 + θ + s e n 2 θ + 1 + C  

Onde C 1   = 1 4    

Resposta

∫ 2 θ + 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 d θ =   θ 2 + θ + s e n 2 θ + 1 + C  

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