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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 45

Calcule a integral int [2 theta + 1 + 2 cos (2 theta + 1)] d theta

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = 2 theta + 1 => d u = z d theta => (1)/(2) d u = d theta

Passo 2

Substituindo,

int [2 theta + 1 + 2 cos (2 theta + 1)] d theta = int (u + 2 c o s u) ((1)/(2) d u)

Passo 3

Abrindo as contas, usando a regra da soma e da constante,

int (u + 2 c o s u) ((1)/(2) d u) = int (1)/(2) u d u + int 2 . c o s u (1)/(2) d u = (1)/(2) int u d u + int c o s u d u

Passo 4

Resolvendo a integral,

int (1)/(2) u d u + int 2 . c o s u (1)/(2) d u = (1)/(2) int u d u + int c o s u d u = (1)/(2) . (u^2)/(2) + s e n u + C_1

Passo 5

Retornando a variável inicial,

(u^2)/(4) + s e n u + C_1 = ((2 theta + 1)^2)/(4) + s e n (2 theta + 1) + C_1

Passo 6

Vamos abrir essas contas. Você deve tá se perguntando porquê. Então, chamamos a nossa constante de C_1 , porque ela não é nossa constante final, ainda há constantes embutidas na conta, como elas não fazem diferença na derivada, vamos descartar todas, chamando de C.

= ((2 theta + 1)^2)/(4) + s e n (2 theta + 1) + C_1 = theta^2 + theta + s e n (2 theta + 1) + C

Onde C_1 = (1)/(4)

Resposta

int [2 theta + 1 + 2 cos (2 theta + 1)] d theta = theta^2 + theta + s e n (2 theta + 1) + C

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