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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3g

3.Calcule.

int sin^3 x d x

Passo 1

Oi, pessoal! A gente tem um seno ao cubo para integrar e vamos usar uma substituição simples para fazer isso! Mas antes vamos reescrever essa função.

Primeiro, vamos separar esse seno assim,

int sin^3 x d x = int sin^2 x . sin x d x

Agora vamos usar a seguinte identidade trigonométrica,

cos^2 x + sin^2 x = 1

Ou seja,

sin^2 x = 1 - cos^2 x

Então a nossa integral fica assim,

int (1 - cos^2 x) . sin x d x

Agora sim podemos partir para nossa substituição simples.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte mudança de variável,

u = cos x

d u = - sin x d x

Substituindo na integral, ficamos com,

int - (1 - u^2) d u = - u + (u^3)/(3) + C

Voltando para variável x

int sin^3 x d x = - cos x + (cos^3 x)/(3) + C

Onde, C é a constante de integração.

Resposta

int sin^3 x d x = - cos x + (cos^3 x)/(3) + C

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