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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 4b

Calcule.

int ( (5)/(x - 1) + (2)/(x) ) d x

Passo 1

Para começar, iremos “quebrar” essa integral para termos uma certa facilidade na questão:

int ( (5)/(x - 1) + (2)/(x) ) d x = 5 int (1)/(x - 1) d x + 2 int (1)/(x) d x

Das integrais acima, temos a primeira como não imediata e a segunda como imediata. Como já dizia o Mestre Morgado, se algo é mais complicado comece por essa coisa.

Focaremos nessa:

int (1)/(x - 1) d x

Passo 2

Chamaremos x - 1 de u :

x - 1 = u

Falta sabermos o d x , como saberemos? Utilizando a derivada na expressão acima:

( x - 1 ) ' = ( u ) '

d x = d u

Agora que temos tudo como função de u , substituiremos e iremos ver a mágica acontecer:

int (1)/(x - 1) d x = int (1)/(u) d u

Se tornou uma integral imediata, int (1)/(u) d u = ln | u | + c

int (1)/(x - 1) d x = int (1)/(u) d u = ln | u | + c

Passo 3

Substituindo u por x - 1 :

5 int (1)/(x - 1) d x = 5 ln | x - 1 | + c

E a outra integral é imediata:

2 int (1)/(x) d x = 2 ln | x | + c

A nossa resposta é da forma:

int ( (5)/(x - 1) + (2)/(x) ) d x = 5 ln | x - 1 | + 2 ln | x | + c

Resposta

int ( (5)/(x - 1) + (2)/(x) ) d x = 5 ln | x - 1 | + 2 ln | x | + c

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