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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3e

3.Calcule.

int sin 2 x sqrt(1 + cos^2 x) d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos 1 + cos^2 x de u :

1 + cos^2 x = u

Passo 2

Derivaremos cada membro da equação abaixo: 1 + cos^2 x = u

- 2 sin x cos x d x = d u ( I )

Aqui se encontra o “pulo do gato” desta questão, pois para resolve-la deve-se relembrar a esqueção trigonométrica abaixo:

2 sin x cos x = sin 2 x ( I I )

Substituindo a equação (I I) na equação ( I ) teremos:

- sin 2 x d x = d u

sin 2 x d x = - d u

Agora vamos mexer um pouco na integral para facilitar na hora da substituição!

int sin 2 x sqrt(1 + cos^2 x) d x = int sqrt(1 + cos^2 x) (sin 2 x d x)

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

int sin 2 x sqrt(1 + cos^2 x) d x = int - sqrt(u) d u

Como (- 1) é constente podemos retirá-lo da integral :

int sin 2 x sqrt(1 + cos^2 x) d x = - int u^((1)/(2)) d u

int sin 2 x sqrt(1 + cos^2 x) d x = - (2)/(3) sqrt(u^3) + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

int sin 2 x sqrt(1 + cos^2 x) d x = - (2)/(3) sqrt((1 + cos^2 x)^3) + C

Resposta

int sin 2 x sqrt(1 + cos^2 x) d x = - (2)/(3) sqrt((1 + cos^2 x)^3) + C

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