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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 46

Calcule a integral int ( (1)/(sqrt(2 theta - pi)) + 2 sec^2 ( 2 theta - pi ) ) d theta

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = 2 theta - pi => d u = 2 d theta => (1)/(2) d u = d theta

Substituindo,

int ( (1)/(sqrt(2 theta - pi)) + 2 sec^2 ( 2 theta - pi ) ) d theta = int ((1)/(sqrt(u)) + 2 sec^2 u) ((1)/(2) d u)

Usando a regra da constante vezes a integral,

int ((1)/(sqrt(u)) + 2 sec^2 u) ((1)/(2) d u) = (1)/(2) int ( u^((1)/(2)) + 2 sec^2 u ) d u = (1)/(2) ((u^((1)/(2)))/((1)/(2))) + (1)/(2) (2 t g u) + C

Retornando à nossa variável inicial,

(1)/(2) ((u^((1)/(2)))/((1)/(2))) + (1)/(2) (2 t g u) + C = (2 theta - pi)^((1)/(2)) + t g (2 theta - pi) + C

Resposta

int ( (1)/(sqrt(2 theta - pi)) + 2 sec^2 ( 2 theta - pi ) ) d theta = (2 theta + pi)^((1)/(2)) + t g (2 theta - pi) + C

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