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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 51a

Mostre que se m >= 2 e m for inteiro,

int sec^m x d x = (sec^(m - 2) x tg x)/(m - 1) + (m - 2)/(m - 1) int sec^(m - 2) x d x

Passo 1

Podemos calcular a integral utilizando o métdo da integração por partes. Vamos convenientemente escolher como d v uma potência de sec x que conseguimos integrar. Pegamos u = sec^(m - 2) x e d v = sec^2 x . Temos então:

d u = (m - 2) sec^(m - 3) x * sec x tg x d x = (m - 2) sec^((m - 2)) x tg x d x

v = int d v = int sec^2 x d x = tg x

Passo 2

Então, aplicando a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u => int sec^m x d x = sec^(m - 2) x tg x - int (m - 2) sec^(m - 2) tg^2 x d x

Mas tg^2 x = 1 + sec^2 x , então:

int sec^m x d x = sec^(m - 2) x tg x - int (m - 2) sec^(m - 2) (sec^2 x + 1) d x

=> int sec^m x d x = sec^(m - 2) x tg x - (m - 2) int (sec^m x + sec^(m - 2) x) d x

=> int sec^m x d x = sec^(m - 2) x tg x - (m - 2) int sec^m x d x - (m - 2) int sec^(m - 2) x d x

Agora temos a integral de sec^m x dos dois lados. Passando para a esquerda:

(m - 2 + 1) int sec^m x d x = sec^(m - 2) x tg x - (m - 2) int sec^(m - 2) x d x

=> int sec^m x d x = (sec^(m - 2) x tg x)/(m - 1) + (m - 2)/(m - 1) int sec^(m - 2) x d x

Passo 3

Calculamos novamente a integral da direita usando a mesma fórmula, agora para r = 4 e q = 1 :

(x^5 (ln x)^2)/(5) - (2)/(5) int x^4 ln x d x = (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2)/(5) ((x^5 ln x)/(5) - (1)/(5) int x^4 d x) =

(x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2)/(25) int x^4 d x = (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2)/(25) * (x^5)/(5) + C

= (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2 x^5)/(125) + C

Resposta

int x^4 (ln x)^2 d x = (x^5 (ln x)^2)/(5) - (2 x^5 ln x)/(25) + (2 x^5)/(125) + C

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