Mostre que se m >= 2 e m for inteiro,

∫ sec m ⁡ x d x = sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x m - 1 + m - 2 m - 1 ∫ sec m - 2 ⁡ x d x

Passo 1

Podemos calcular a integral utilizando o métdo da integração por partes. Vamos convenientemente escolher como d v uma potência de sec ⁡ x que conseguimos integrar. Pegamos u = sec m - 2 ⁡ x e d v = sec 2 ⁡ x . Temos então:

d u = m - 2 sec m - 3 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x tg ⁡ x d x = m - 2 sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x d x  

v = ∫ d v = ∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x

Passo 2

Então, aplicando a fórmula da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u ⇒ ∫ sec m ⁡ x d x = sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x - ∫ m - 2 sec m - 2 ⁡ tg 2 ⁡ x d x

Mas tg 2 ⁡ x = 1 + sec 2 ⁡ x , então:

∫ sec m ⁡ x d x = sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x - ∫ m - 2 sec m - 2 ⁡ sec 2 ⁡ x + 1 d x

⇒ ∫ sec m ⁡ x d x = sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x - m - 2 ∫ sec m ⁡ x + sec m - 2 ⁡ x d x

⇒ ∫ sec m ⁡ x d x = sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x - m - 2 ∫ sec m ⁡ x d x - m - 2 ∫ sec m - 2 ⁡ x d x

Agora temos a integral de sec m ⁡ x dos dois lados. Passando para a esquerda:

m - 2 + 1 ∫ sec m ⁡ x d x = sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x - m - 2 ∫ sec m - 2 ⁡ x d x

⇒ ∫ sec m ⁡ x d x = sec m - 2 ⁡ x tg ⁡ x m - 1 + m - 2 m - 1 ∫ sec m - 2 ⁡ x d x

Passo 3

Calculamos novamente a integral da direita usando a mesma fórmula, agora para r = 4 e q = 1 :

x 5 ln ⁡ x 2 5 - 2 5 ∫ x 4 ln ⁡ x d x = x 5 ln ⁡ x 2 5 - 2 5 x 5 ln ⁡ x 5 - 1 5 ∫ x 4 d x =

x 5 ln ⁡ x 2 5 - 2 x 5 ln ⁡ x 25 + 2 25 ∫ x 4 d x = x 5 ln ⁡ x 2 5 - 2 x 5 ln ⁡ x 25 + 2 25 ⋅ x 5 5 + C

= x 5 ln ⁡ x 2 5 - 2 x 5 ln ⁡ x 25 + 2 x 5 125 + C

Resposta

∫ x 4 ln ⁡ x 2 d x = x 5 ln ⁡ x 2 5 - 2 x 5 ln ⁡ x 25 + 2 x 5 125 + C

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