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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 48

Um fabricante descobriu que se 100 x unidades de uma mercadoria forem produzidas por semana, o custo marginal será determinado por x 2 x 2 , e o rendimento marginal será determinado por 8 ⋅ 2 - x 2 , onde o custo de produção e o rendimento são em milhares. Se os custos fixados semanalmente chegam a R$ 2.000, ache o lucro semanal máximo que poderá ser obtido.

Passo 1

A expressão do lucro L ( x ) é dada por:

L x = R x - C ( x )

Sendo R ( x ) o rendimento total e C ( x ) o custo total em função de x . Devemos obter R e C por integração, já que o exercício nos forneceu o custo marginal C ' ( x ) e o rendimento marginal R ' ( x ) .

Passo 2

Vamos primeiro integrar a expressão de C ' x :

C x = ∫ x ⋅ 2 x 2   d x

Podemos usar o método da integração por partes. Escolhendo u como x e d v como 2 x 2 d x , temos:

d u = d x ; v = ∫ 2 x 2 d x = 2 ∫ 2 x 2 ⋅ d x 2 = 2 ∫ 2 x 2 d x 2 = 2 ⋅ 2 x 2 ln ⁡ 2

Então:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u ⇒ ∫ x ⋅ 2 x 2   d x = 2 x 2 x 2 ln ⁡ 2 - ∫ 2 ln ⁡ 2 e x 2   d x

= 2 x 2 x 2 ln ⁡ 2 - 4 ln ⁡ 2 ∫ e x 2 d x 2 = 2 x 2 x 2 ln ⁡ 2 - 4 ⋅ 2 x 2 ln 2 ⁡ 2 + C

Mas C 0 = 2 , pelo enunciado, então:

C 0 = - 4 ln 2 ⁡ 2 + C = 2 ⇒ C = 2 + 4 ln 2 ⁡ 2 ⇒ C x = 2 x 2 x 2 ln ⁡ 2 - 4 ⋅ ( 1 - 2 x 2 ) ln 2 ⁡ 2 + 2

Passo 3

Agora devemos encontrar a expressão de R ( x ) .

R x = ∫ 8 ⋅ 2 - x 2   d x = - 16 ∫ 2 - x 2   d - x 2 = - 16 ⋅ 2 - x 2 ln ⁡ 2 + C

Quando x = 0 , nada foi vendido e o rendimento é zero. Então:

R 0 = - 16 ln ⁡ 2 + C = 0 ⇒ C = 16 ln ⁡ 2 ⇒ R x = 16 ln ⁡ 2 ( 1 - 2 - x 2 )

Passo 4

Agora que temos R ( x ) e C ( x ) , podemos obter a função lucro:

L x = R x - C x = 16 ln ⁡ 2 1 - 2 - x 2 - 2 x 2 x 2 ln ⁡ 2 + 4 ⋅ ( 1 - 2 x 2 ) ln 2 ⁡ 2 - 2

O lucro máximo ocorrequando o rendimento marginal e o custo marginal se igualam. Temos:

x 2 x 2 = 8 ⋅ 2 - x 2 ⇒ x = 8 ⋅ 2 - x ⇒ ln ⁡ x = ln ⁡ 8 + ln ⁡ 2 - x ⇒ ln ⁡ x = 3 ln ⁡ 2 - x ln ⁡ 2

ln ⁡ x = 3 - x ln ⁡ 2 ⇒ x = 2

Então o lucro máximo será:

L 2 = 16 ln ⁡ 2 1 - 2 - 1 - 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ln ⁡ 2 + 4 ⋅ 1 ln 2 ⁡ 2 - 2 = 16 ln ⁡ 2 ⋅ 1 2 - 8 ln ⁡ 2 + 4 ln 2 ⁡ 2 - 2

= 4 ln 2 ⁡ 2 - 2 ≈ 6,325   m i l h a r e s   d e   r e a i s

Resposta

R$ 6.325

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