Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 50a

Deduza a seguinte fórmula, onde r é um número real qualquer.

∫ x r ln ⁡ x q   d x = x r + 1 ln ⁡ x q r + 1 - q r + 1 ∫ x r ln ⁡ x q - 1 d x   s e   r ≠ 1 ln ⁡ x q + 1 q + 1 + C   s e   r = - 1   e   q ≠ - 1

Passo 1

Vamos tentar integrar ela técnica da integração por partes, primeiro para r ≠ - 1 . Colocamos u = ln ⁡ x q e d v = x r d r , então:

d u = q ln ⁡ x q - 1 ⋅ 1 x d x   ;     v = ∫ x r d r = x r + 1 r + 1

Agora usamos a fórmula da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u ⇒ ∫ x r ln ⁡ x d x = x r + 1 ln ⁡ x q r + 1 - ∫ x r + 1 r + 1 ⋅ q ln ⁡ x q - 1 ⋅ 1 x d x

= x r + 1 ln ⁡ x q r + 1 - q r + 1 ∫ x r ln ⁡ x q - 1 d x

Passo 2

Agora vamos integrar para r = - 1 . Nossa integral é:

∫ ln ⁡ x q x d x

Podemos fazer a substituição u = ln ⁡ x , que nos dá d u = d x x , e então teremos:

∫ ln ⁡ x q x d x = ∫ u q   d u = u q + 1 q + 1 = ln ⁡ x q + 1 q + 1 + C ,   p a r a   q ≠ - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que:65 - ∫ a b ( ∫ x b f t d t )d x = ∫ a b ( x - a ) f ( x ) d x
Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:73 - ∫ s e n h - 1 x d x
Calcule a integral ∫ ϴ .c o s( π . ϴ )d ϴ ϴ ϴ ϴ usando integração por partes.
Calcule a integral ∫ XS e nX 2d x usando integração por partes.
Calcule a integral ∫ x . e 3 xd x usando integração por partes.