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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 61

Calcule a integral.

int e^(2 x) cos 3 x d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui a gente vai fazer por integração por partes. Lembra como que é?

int u d v = u v - int v d u

Beleza, a primeira coisa então é a gente escolhe quem vai ser o u e quem vai ser o d v .

Bom, eu vou escolher u = e^(2 x) e d v = cos 3 x .

Vamos começar então...

Passo 2

Pra montar a relação, a gente precisa de d u e v também. Derivando u e integrando v a gente encontra:

d u = 2 e^(2 x) d x

v = (s e n 3 x)/(3)

Vamos chamar nossa integral inicial de I , e aí a gente tem:

I = e^(2 x) (s e n 3 x)/(3) - int 2 e^(2 x) (s e n 3 x)/(3) d x

Dando uma arrumadinha a gente fica com:

I = (e^(2 x) s e n 3 x)/(3) - (2)/(3) int e^(2 x) s e n 3 x d x ( * )

Passo 3

Mas aí a gente chegou numa integral quase igual a do início que não sabemos resolver...

E agora?

Olha o bizu: quando a gente integra seno, vira (-) cosseno. Então se a gente fizer o mesmo esquema, a gente volta pra integral do início. Mas pra que voltar?

Espere e verá (...)

int e^(2 x) s e n 3 x d x -> u = e^(2 x) e d v = s e n 3 x

d u = 2 e^(2 x) d x v = (- (cos (3 x))/(3))

Montamos agora:

int e^(2 x) s e n 3 x d x = e^(2 x) (- (cos (3 x))/(3)) - int - (cos (3 x))/(3) 2 e^(2 x) d x

int e^(2 x) s e n 3 x d x = - (e^(2 x) cos 3 x)/(3) + (2)/(3) int e^(2 x) cos 3 x d x

Beleza, vamos substituir isso lá em ( * ) agora...

Passo 4

Olha só, voltando a gente tem:

I = (e^(2 x) s e n 3 x)/(3) - (2)/(3) [- (e^(2 x) cos 3 x)/(3) + (2)/(3) int e^(2 x) cos 3 x d x]

E como a gente chamou I = int e^(2 x) cos 3 x d x a gente pode fazer isso:

I = (e^(2 x) s e n 3 x)/(3) - (2)/(3) [- (e^(2 x) cos 3 x)/(3) + (2)/(3) I]

Agora vamos isolar o I :

I + (4)/(9) I = (e^(2 x) s e n 3 x)/(3) + (2 e^(2 x) cos 3 x)/(9)

(13 I)/(9) = (3 e^(2 x) s e n 3 x + 2 e^(2 x) cos 3 x)/(9)

I = ((3 e^(2 x) s e n 3 x + 2 e^(2 x) cos 3 x))/(13) + C

E pronto! Chegamos ao resultado da nossa integral😉

Resposta

I = ((3 e^(2 x) s e n 3 x + 2 e^(2 x) cos 3 x))/(13) + C

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