Calcule a integral.

∫ 0 l n 2 e x - 1   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa aqui por substituição. Por enquanto vamos deixar esses limites de integração de lado e trabalhar com a integral indefinida, tá bom?

Vamos fazer a substituição:

u = e x - 1

d u = e x 2 e x - 1 d x

d x = 2 e x - 1 e x   d u

Passo 2

Substituindo na nossa integral, temos:

∫ u   2 e x - 1 e x   d u

Vamos ter que passar isso tudo pra u . Vamos isolar o e x lá na relação do u então:

u = e x - 1  

u 2 = e x - 1

e x = u 2 + 1

Beleza, agora já dá pra a gente deixar tudo em u :

∫ u 2 u u 2 + 1   d u

∫ 2 u 2 u 2 + 1   d u

2 ∫ u 2 u 2 + 1   d u

Passo 3

Agora vamos fazer uns esqueminhas assim ó:

u 2 = u 2 + 1 - 1

2 ∫ u 2 + 1 - 1 u 2 + 1   d u

2   ∫ u 2 + 1 u 2 + 1 - 1 u 2 + 1   d u

2   ∫ 1 - 1 u 2 + 1   d u

Agora a gente ficou com integrais elementares, que resolvemos assim:

2 u - a r c t g   u

Passo 4

Integral resolvida, agora é só a gente voltar pra variável x e colocar os intervalos de volta:

2 e x - 1 - 2 a r c t g   e x - 1 0 l n 2

= 2 2 - 1 - 2 a r c t g   2 - 1 - 2 0 + 2   a r c t g   1 - 1

= 2 - 2 π 4

= 2 - π 2

E agora acabamos!

Resposta

2 - π 2

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