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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 66

Calcule a integral.

int_0^(l n 2) sqrt(e^x - 1) d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa aqui por substituição. Por enquanto vamos deixar esses limites de integração de lado e trabalhar com a integral indefinida, tá bom?

Vamos fazer a substituição:

u = sqrt(e^x - 1)

d u = (e^x)/(2 sqrt(e^x - 1)) d x

d x = (2 sqrt(e^x - 1))/(e^x) d u

Passo 2

Substituindo na nossa integral, temos:

int u (2 sqrt(e^x - 1))/(e^x) d u

Vamos ter que passar isso tudo pra u . Vamos isolar o e^x lá na relação do u então:

u = sqrt(e^x - 1)

u^2 = e^x - 1

e^x = u^2 + 1

Beleza, agora já dá pra a gente deixar tudo em u :

int u (2 u)/(u^2 + 1) d u

int (2 u^2)/(u^2 + 1) d u

2 int (u^2)/(u^2 + 1) d u

Passo 3

Agora vamos fazer uns esqueminhas assim ó:

u^2 = u^2 + 1 - 1

2 int (u^2 + 1 - 1)/(u^2 + 1) d u

2 int (u^2 + 1)/(u^2 + 1) - (1)/(u^2 + 1) d u

2 int 1 - (1)/(u^2 + 1) d u

Agora a gente ficou com integrais elementares, que resolvemos assim:

2 [u - a r c t g u]

Passo 4

Integral resolvida, agora é só a gente voltar pra variável x e colocar os intervalos de volta:

[2 sqrt(e^x - 1) - 2 a r c t g (sqrt(e^x - 1))]_0^(l n 2)

= 2 sqrt(2 - 1) - 2 a r c t g sqrt(2 - 1) - 2 sqrt(0) + 2 a r c t g sqrt(1 - 1)

= 2 - (2 pi)/(4)

= 2 - (pi)/(2)

E agora acabamos!

Resposta

2 - (pi)/(2)

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Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. ∫ 0 1 sec 2 ⁡ x x x d x
Calculeb) int_(- 1)^x f (t) d t ondef (t) = {[[t^2 s e - 1 = t = 1],[2 s e t1]])
Calculed)int_0^x f (t) d t ondef (t) = {[[1 s e 0 = t1],[2 s e 1 = t2],[3 s e t = 2]])
Calculec) int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[(x)/(1 + x^2) s e x != 1],[5 s e x = 1]])
Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])