Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 1

Calcule a integral.

int x e^(- 2 x) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int x e^(- 2 x) d x

E supondo:

u = x e d v = e^(- 2 x) d x

Conseguimos encontrar:

d u = d x

E:

v = int e^(- 2 x) d x

Que, resolvendo através da substituição com a = - 2 x , tal que d a = - 2 d x , obtemos:

v = int e^a (- (d a)/(2)) = - (1)/(2) e^a

Ou seja:

v = - (1)/(2) e^(- 2 x)

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int x e^(- 2 x) d x = x (- (1)/(2) e^(- 2 x)) - int (- (1)/(2) e^(- 2 x)) d x

Que pode ser reescrita como:

int x e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x e^(- 2 x) + (1)/(2) int e^(- 2 x) d x

Como a integral do lado direito da equação já foi calculada no Passo 2 e é o resultado de v , podemos reaproveitar isso. Logo:

int x e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x e^(- 2 x) + (1)/(2) (- (1)/(2) e^(- 2 x)) + C

int x e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x e^(- 2 x) - (1)/(4) e^(- 2 x) + C

Passo 4

Por fim, podemos tirar o fator comum desse resultado obtido para ter como resposta final:

int x e^(- 2 x) d x = - e^(- 2 x) ((x)/(2) + (1)/(4)) + C

Resposta

int x e^(- 2 x) d x = - e^(- 2 x) ((x)/(2) + (1)/(4)) + C

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