Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 10

Calcule a integral.

int sqrt(x) ln x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int x ln x d x

E supondo:

u = ln x e d v = sqrt(x) d x

Conseguimos encontrar:

d u = (1)/(x) d x

E:

v = int sqrt(x) d x

Ou seja:

v = (2)/(3) x^(3 // 2)

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int sqrt(x) ln x d x = ln x ((2)/(3) x^(3 // 2)) - int ((2)/(3) x^(3 // 2)) ((1)/(x) d x)

Que pode ser reescrita como:

int sqrt(x) ln x d x = (2)/(3) x^(3 // 2) ln x - (2)/(3) int x^(1 // 2) d x

Passo 4

Como a integral do lado direito da equação possui um resultado já definido, podemos calcular de forma direta, tal que:

int sqrt(x) ln x d x = (2)/(3) x^(3 // 2) ln x - (2)/(3) ((2)/(3) x^(3 // 2)) + C

Portanto, o resultado da integral é:

int sqrt(x) ln x d x = (2)/(3) x^(3 // 2) ln x - (4)/(9) x^(3 // 2) + C

Resposta

int sqrt(x) ln x d x = (2)/(3) x^(3 // 2) ln x - (4)/(9) x^(3 // 2) + C

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