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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 72

Calcule a integral.

int ((sec^2 theta ))/(t g^3 theta - t g^2 theta)) d theta

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos começar com uma substituição. Olha só, se a gente fizer:

u = t g theta

d u = sec^2 theta d theta

Vai ficar assim ó:

int (d u)/(u^3 - u^2)

E aí a gente pode fazer:

int (d u)/(u^2 (u - 1))

Aí a gente cai numa fração parcial!

Passo 2

Vamos lá, temos termos lineares, então vamos ter:

(1)/(u^2 (u - 1)) = (A)/(u) + (B)/(u^2) + (C)/(u - 1)

E aí a gente tem que achar esses A , B e C a...

Multiplicando tudo por u^2 (u - 1) :

1 = A (u) (u - 1) + B (u - 1) + C (u^2)

1 = A u^2 - A u + B u - B + C u^2

1 = u^2 (A + C) + u (- A + B) - B

Pra isso ser uma igualdade verdadeira, a gente precisa que:

{[[A + C = 0],[- A + B = 0],[- B = 1]])

Daí tiramos que B = - 1 , A = - 1 e C = 1 .

Passo 3

Reescrevemos nossa fração então como:

(1)/(u^2 (u - 1)) = (- 1)/(u) - (1)/(u^2) + (1)/(u - 1)

E aí agora integramos isso:

int (- 1)/(u) - (1)/(u^2) + (1)/(u - 1) d u

= - ln |u| + (1)/(u) + ln |u - 1| + C

Integramos! Agora é só voltar pra nossa variável:

= - ln |t g x| + (1)/(t g x) + ln |t g x - 1| + C

= - ln |t g x| + c o t g x + ln |t g x - 1| + C

Prontinho! 😉

Resposta

- ln |t g x| + c o t g x + ln |t g x - 1| + C

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