Calcule a integral:

∫ 1 2 cosh ⁡ ( ln ⁡ t ) t   d t  

Passo 1

Vamos usar uma substituição para facilitar nosso trabalho:

u = ln ⁡ t   → d u = 1 t d t

Assim, vamos escrever a integral indefinida:

∫ cosh ⁡ u   d u

Vamos resolver em u , e depois voltamos para a variável t ...

∫ cosh ⁡ u   d u = s e n h   u + C =   s e n h   ( ln ⁡ t ) |   1     2  

Passo 2

Vamos jogar os limites de integração agora e resolver:

s e n h   ( ln ⁡ t ) |   1   =   2 s e n h   ( ln ⁡ 2 ) -   s e n h   ( ln ⁡ 1 ) = s e n h ( ln ⁡ 2 ) -   s e n h   ( 0 )

Sabendo que sen h ⁡ x =   e x - e - x 2 então vamos substituir e encontrar o valor da integral:

s e n h   ( ln ⁡ 2 ) -   s e n h   ( 0 ) = e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2 2 - e 0 - e - 0 2 = e l n 2 - e - l n 2 - e 0 + e 0 2 = 2 - 1 2 2 = 3 4

E pronto!

Resposta

3 4

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