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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 14

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R y e x   d A ,

onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .

Passo 1

Devemos primeiro passar a integral para coordenadas polares lembrando que d A = r   d r   d θ e que x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ .

Como estamos restritos apenas ao primeiro quadrante, devemos ter 0 ≤ θ ≤ π / 2 . Assim,

∬ R y e x   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 r 2   s e n   θ   e r cos ⁡ θ   d r   d θ

Passo 2

Vamos fazer primeiro a integral em θ :

∬ R y e x   d A = ∫ 0 5 r ∫ 0 π 2 e r cos ⁡ θ   r   s e n   θ   d θ   d r

Fazendo u = r cos ⁡ θ , temos que d u = - r   s e n   θ   d θ . Os limites de integração ficam

θ = π 2 → u = 0

θ = 0 → u = r

Assim,

∫ 0 π 2 e r cos ⁡ θ   r   s e n   θ   d θ = ∫ r 0 e u - d u = ∫ 0 r e u d u = e r - 1

Na nossa integral dupla

∬ R y e x   d A = ∫ 0 5 r e r - 1 d r   = ∫ 0 5 r e r - r d r

A primitiva de r e r é r e r - e r , assim

∬ R y e x   d A = r e r - e r - r 2 2 0 5 = 5 e 5 - e 5 - 25 2 + 1 = 4 e 5 - 23 2

Resposta

4 e 5 - 23 2

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Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e o plano z = 7 no primeiro octante.
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro tanto do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64 .
Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .