Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios de Mudança para Coordenadas Polares - Lista de Exercícios Resolvida

Ver Teoria

Questão 1

Calcule

∬ R   y d A

Onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo x 2 + y 2 = 2 x .

Ver solução completa

Questão 2

Calcule ∬ D   l n ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Ver solução completa

Questão 3

Calcular a área da região abaixo usando integral dupla

x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 + 8 y ≤ 0   e   x 2 + y 2 ≥ 16

Ver solução completa

Questão 4

b) Calcule a integral

∫ 0 a cos ⁡ b   ∫ 0 x tg ⁡ b f ( x , y ) d y d x + ∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Considerando f x , y = x 4 - y 4

Ver solução completa

Questão 5

Utilize coordenadas polares para calcular

∬ R   x x 2 + y 2 d A

Onde

R = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4   e   x ≥ 1

Ver solução completa

Questão 6

Calcule

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y

Ver solução completa

Questão 7

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

e) ∫ ∫ R x y d x d y , onde R é a região limitada por x 2 4 + y 2 9 = 1 .

Ver solução completa

Questão 8

Considere a região plana D dada por:

D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 - 2 x ≤ 0 , x ≥ 1

E a integral dupla

I = ∬ D x x 2 + y 2 d x d y

  1. Esboce a região D
  2. Expresse a integral I como uma integral iterada nas variáveis cartesianas x e y, integrando primeiro com respeito a y e em seguida com respeito a x (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral).
  3. Expresse a integral I como uma integral iterada nas variáveis polares r e θ . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
  4. Calcule I (usando o método que preferir)

Ver solução completa

Questão 9

Calcule a seguinte integral:

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - x 2 1 x 2 + y 2 3 / 2 d y d x

Ver solução completa

Questão 10

Calcule

∬ R   y d A

Onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo x 2 + y 2 = 2 x .

Ver solução completa

Questão 11

Utilize coordenadas polares para combinar a soma

∫ 0 1 / 2 ∫ 0 x x   d y d x + ∫ 1 / 2 1 ∫ 0 1 - x 2 x   d y d x

Em uma única integral. Em seguida, calcule essa integral.

Ver solução completa

Questão 12

Calcule

∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 d y d x

Esboce a região de integração.

Ver solução completa

Questão 13

Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

∬ R x 2 + y ² d A

Em que R é a região limitada pelo triângulo de vértices 0,0 ,   3,0   e   ( 3,3 ) .

Ver solução completa

Questão 14

Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

∫ 1 2 ∫ 0 x 1 x 2 + y 2 d y d x

Ver solução completa

Questão 15

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : d e l i m i t a d o   p e l o   c o n e   z 2 = x 2 + y 2   e   o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = x

Ver solução completa

Questão 16

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : r e g i ã o   i n t e r i o r   à   e s f e r a   x 2 + y 2 + z 2 = 25   e   e x t e r i o r   a o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = 9

Ver solução completa

Questão 17

b) Calcule a integral

∫ 0 a cos ⁡ b   ∫ 0 x tg ⁡ b f ( x , y ) d y d x + ∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Considerando f x , y = x 4 - y 4

Ver solução completa

Questão 18

Calcule a área da figura plana limitada pela curva dada pela equação x 2 3 + y 2 3 = 1 .

Ver solução completa

Questão 19

Calcule a integral

∫ ∫ D arctan ⁡ y x d A

onde a região D = x , y ∈ R 2 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 ,   0 ≤ y ≤ x .

Ver solução completa

Questão 20

Qual das alternativas exibe o valor correto da integral

∫ 0 2 2 ∫ x 1 - x 2 e - 2 x 2 + y 2   d y   d x +   ∫ - 2 2 0 ∫ - x 1 - x 2 e - 2 x 2 + y 2   d y   d x

  1. π 8 2 + e - 2
  2. π 8 2 - e - 2
  3. π 8 1 + e - 2
  4. π 4 1 - e - 2
  5. π 8 1 - e - 2

Ver solução completa

Questão 21

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

a) ∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d x d y

Ver solução completa

Questão 22

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

b) ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2   d x d y

Ver solução completa

Questão 23

Envolvendo coordenadas polares, calcule:

a) ∬ D ln ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Ver solução completa

Questão 24

Use coordenadas polares para resolver a integral ∫ 0 2 ∫ x 8 - x 2 1 5 + x 2 + y 2 d y d x .

Ver solução completa

Questão 25

Calcule a integral dupla

∬ R x + 1 d A

Onde R é a região definida por

R = x , y 2 y ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 y ,   - y ≤ x ≤ y

Ver solução completa

Questão 26

Questão 4: Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:

∬ R   cos ⁡ x 2 + y 2 d A

Onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .

Ver solução completa

Questão 27

Sejam a ,   b ∈ R . Transformar em coordenadas cartesianas e descrever a seguinte curva, dada em coordenadas polares por

r = f θ = a cos ⁡ θ + b sin ⁡ θ ,                         0 ≤ θ ≤ π .

Ver solução completa

Questão 28

Envolvendo coordenadas polares, calcule:

b) ∬ D e x 2 + y 2   d A , com D = x ,   y ∈ R 2 |   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   - x ≤ y ≤ x ,   x ≥ 0 .

Ver solução completa

Questão 29

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

g) ∫ ∫ R d x d y , onde R é a região limitada por 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 . Interprete o resultado geometricamente.

Ver solução completa

Questão 30

  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 1 3 ∫ 0 y 1 x 2 + y 2   d x d y

Ver solução completa

Questão 31

  1. Uma placa D tem a forma da região limitada pelas retas x = 1 , x = 2 , y = 0 e y = x 3 .

A densidade em cada ponto é inversamente proporcional a distância à distância do ponto à origem. Determine a massa da placa.

Ver solução completa

Questão 32

Use coordenadas polares para calcular a área da região R interior ao círculo x - 1 2 + y 2 = 1 , exterior ao círculo x 2 + y 2 = 1 .

Ver solução completa

Questão 33

  1. Inverta a ordem de integração (Tipo I para tipo II) e calcule:

    2. ∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

  2. Usando coordenadas polares calcule:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x

Ver solução completa

Questão 34

Calcule a integral

∫ ∫ D   y 3   d A  

Onde D = x , y : x 2 + 4 y 2 ≤ 1 ,   y ≥ 0 .

Ver solução completa

Questão 35

Calcule ∬ R 1 x 2 + y 2 d A onde R é a região do plano no interior da cardióide x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + y e no exterior do círculo x 2 + y 2 = 1 . Sugestão: use coordenadas polares

a) π 3

b) 1

c) π 2

d) 2

e) 1 2

Ver solução completa

Questão 36

Calcule ∭ E z x 2 + y 2 d V onde E é a região de R 3 interna ao cilindro x 2 + y 2 = 4 , externa ao cilindro x 2 + y 2 = 1 , limitada acima pelo semicone z = 3 x 2 + y 2 e abaixo pelo paraboloide z = x 2 + y 2 .

a) 27 π 4

b) 39 π 4

c) 10 π

d) 31 π 4

e) 81 π 4

Ver solução completa

Questão 37

4 – Calcular:

∬ R   ( x 2 + y 2 ) d x d y

Em que R é a região interna à x 2 + y 2 = 4 y e externa à x 2 + y 2 = 2 y .

Ver solução completa

Questão 38

5 – Calcular:

∬ R   x   d x d y

Em que R é a região do primeiro quadrante delimitada por x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 , x = y e y = 0 .

Ver solução completa

Questão 39

Questão 2. Use técnicas de integração para determinar a área da região plana delimitada pelos círculos x 2 + y 2 ≥ 1 e x 2 + y 2 ≤ 4 e que está entre as retas y = 0 e y = x .

Ver solução completa

Questão 40

(4) Seja R a região contida no primeiro quadrante do plano, limitada pela curva x 2 + y 2 = 9 , pela reta y = 3 x e pela reta x = 0 . Marque a opção que representa a integral ∬ R     x   d x d y após mudar para coordenadas polares.

  1. ∫ π / 3   π / 2   ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  2. ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  3. ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  4. ∫ π / 6   π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  5. ∫ 0 π / 3 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ

Ver solução completa

Questão 41

Questão 3:

Considere a região plana D = D 1 ∪ D 2 onde:

D 1 = x ,   y ∈ R 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ x

e

D 2 = x ,   y ∈ R 2 ,   1 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 2 - x 2

  1. Esboce D = D 1 ∪ D 2 e determine a fronteira de D através de igualdades e desigualdades.
  2. Calcule J = ��� D   ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 d x d y

Ver solução completa

Questão 42

Questão 1: Calcule a integral dupla da função e - x 2 + y 2 no disco unitário centrado na origem.

Ver solução completa

Questão 43

Questão 2: Considere as regiões do espaço

U 1 = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   z 2 ≤ x 2 + y 2 + 3 ,     z ≥ 0

U 2 = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   z ≥ x 2 + y 2 + 1

Seja U = U 1 ∩ U 2 .

  1. Esboce hachurando U ∩ x = 0 .
  2. Considere V = U ∩ x ≥ 0

    3. Escreva V o l V , na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas polares.

  3. Calcule V o l V .

Ver solução completa

Questão 44

Questão 3: Calcule

∬ D   ln ⁡ x 2 + y 2   d A

Onde D é a região do primeiro quadrante entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Ver solução completa

Questão 45

6) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

b) ∫ 0 4 ∫ - 4 - y - 2 2 4 - y - 2 2 x + y x 2 + y 2 d x d y = ∫ a b ∫ c d ? ? ? d r d θ ,   onde:

a = ? ? ? , b = ? ? ? , c = ? ? ? e d = ? ? ? ;

Ver solução completa

Questão 46

Calcule a área da região D situada fora do círculo de equação x 2 + y 2 = 9 e dentro do círculo de equação x 2 + y 2 - 6 y = 0

Ver solução completa

Questão 47

Considere a região D do plano limitado pela curva x 2 + y 2 = 2 y .

  1. Esboce D em coordenadas cartesianas e polares.
  2. Calcule

∬ D x 2 + y 2   d x d y

Ver solução completa

Questão 48

Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d y d x 1 + x 2 + y 2 2

Em seguida, calcule o seu valor.

  1. π / 4
  2. π
  3. π / 3
  4. π / 2
  5. π / 5

Ver solução completa

Questão 49

Calcule a integral

∬ D x   d A

Onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x , y = 0 , e pelos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y ² = 4 .

Ver solução completa

Questão 50

Considere D = x , y ∈ R 2 : 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e I a integral dada por

I = ∬ D x y d x d y

  1. Usando coordenadas polares calcule I . Justifique.

Ver solução completa

Questão 51

  1. Calcule a integral abaixo

∬ R cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y

Onde R   é a região contida no primeiro quadrante do plano cartersiano x y que está dentro do círculo de centro 0,0 e raio 2 e fora do círculo de mesmo centro e raio 1 .

Ver solução completa

Questão 52

10 - Calcule a área da elipse x 2 + 4 y 2 - 4 x = 0 .

Ver solução completa

Questão 53

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

c) ∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y , onde R é a região limitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .

Ver solução completa

Questão 54

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

b) ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d x d y

Ver solução completa

Questão 55

8 - Uma região R é mostrada em cada um dos gráficos da figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva os limites de integração da integral iterada ∫ ∫ R f x , y d A , onde f é uma função arbitrária qualquer contínua em R.

Ver solução completa

Questão 56

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

d) ∫ ∫ R x d x d y , onde R é a região limitada por x 2 + y 2 - 4 x = 0

Ver solução completa

Questão 57

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

f) ∫ ∫ R x - 1 2 + y - 2 2 d x d y , onde R é a região limitada por x - 1 2 + y - 2 2 = 1 .

Ver solução completa

Questão 58

Calcule ∬ R 1 x 2 + y 2 d A onde R é a região do plano no interior da cardióide x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + y e no exterior do círculo x 2 + y 2 = 1 . Sugestão: use coordenadas polares

a) π 3

b) 1

c) π 2

d) 2

e) 1 2

Ver solução completa

Questão 59

6 – Calcular:

∬ R   d x d y

Em que R é a região delimitada por 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 .

Ver solução completa

Questão 60

Calcule a integral, colocando-a em coordenada polar:

∬ R sin ⁡ x 2 + y 2 d A

Onde R é a região anular 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 .

Ver solução completa

Questão 61

(Cap 15.3 – Ex 2) Avalie a integral iterada

∫ 0 1 ∫ 2 x 2 x - y d y d x

Ver solução completa

Questão 62

(Cap 15.4 – Ex 17) A região dentro do círculo x - 1 2 + y 2 = 1 e fora do círculo x 2 + y 2 = 1 .

Ver solução completa

Questão 63

(Capítulo 15.4 – Exercício 32) Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2 x 2 + y 2   d y   d x

Ver solução completa

Questão 64

(Cap 15.4 – Ex 2) Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , y   d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .

Ver solução completa

Questão 65

(Cap 15.4 – Ex 4) Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , y   d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .

Ver solução completa

Questão 66

(Capítulo 15.4 – Exercício 29) Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

Ver solução completa

Questão 67

(Cap 15.4 – Ex 9) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A

Onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro a origem e raios 1 e 3.

Ver solução completa

Questão 68

(Capítulo 15.4 – Exercício 40)

(a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano R 2 )

I = ∬ R 2   e - x 2 + y 2   d A = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = lim a → ∞ ⁡ ∬ D a   e - x 2 + y 2   d A

onde D a é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = π

(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é

∬ R 2   e - x 2 + y 2   d A = lim a → ∞ ⁡ ∬ S a   e - x 2 + y 2   d A

onde S a é o quadrado com vértices ± a ,   ± a . Use esse resultado para mostrar que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y = π

(c) Deduza que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

(d) Fazendo a mudança de variável t = 2   x , mostre que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = 2 π

(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)

Ver solução completa

Questão 69

(Cap 15.4 – Ex 7) ∬ D x 2 y   d A ,   onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.

Ver solução completa

Questão 70

(Cap 15.4 – Ex 8) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R 2 x - y d A

Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 e as retas x = 0 e y = x .

Ver solução completa

Questão 71

Utilize coordenadas polares para calcular

∬ R   x x 2 + y 2 d A

Onde

R = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4   e   x ≥ 1

Ver solução completa

Questão 72

Calcule ∬ R   a r c t g ( y / x ) d A , em que R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 . Esboce a região R .

Ver solução completa

Questão 73

Calcule a integral

∬ D 1 - y 2 d A  

Sendo D o setor circular onde r ∈ 0,1 , θ ∈ π 4 , π 2

Ver solução completa

Questão 74

Uma placa plana tem a forma da região D que ocupa o primeiro quadrante entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 . Se a densidade em cada ponto da placa é igual à soma das coordenadas do ponto, determine a massa da placa.

Ver solução completa

Questão 75

Calcule a integral

∫ 0 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 e x 2 + y 2 d A

Ver solução completa

Questão 76

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : m a i o r   r e g i ã o   i n t e r i o r   à   e s f e r a   x 2 + y 2 + z 2 = 16   e   a o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = 4 y

Ver solução completa

Questão 77

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : s o b   o   p a r a b o l ó i d e   z = x 2 + y 2   e   a c i m a   d o   d i s c o   x 2 + y 2 ≤ 25

Ver solução completa

Questão 78

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : a c i m a   d o   c o n e   z = x 2 + y 2   e   a b a i x o   d a   e s f e r a   x 2 + y 2 + z 2 = 1

Ver solução completa

Questão 79

Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d y d x

  1. π / 2
  2. π
  3. 3
  4. π 2 + 3
  5. 1 / 2

Ver solução completa

Questão 80

Calcule a massa de uma lâmina delimitada por x - 1 2 + y - 2 2 = 1 , se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto a 1,2 .

Ver solução completa

Questão 81

Considere a região plana

R = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 - x ≤ 0 , x 2 + y 2 - y ≥ 0 , y ≥ 0

E a integral dupla

I = ∬ R x 2 + y 2 d x d y

  1. Esboce a região plana R
  2. Seja C 1 a parte da fronteira de R que está contida na circunferência de equação x 2 + y 2 - x = 0 e C 2 a parte da fronteira de R que está contida na circunferência de equação x 2 + y 2 - y = 0 . Descreva C 1 e C 2 nos seguintes formatos:

    3. C 1 = x , y ∈ R 2 y = f 1 x ,     a ≤ x ≤ b

    C 2 = x , y ∈ R 2 x = f 2 y ,     c ≤ y ≤ d

    Explicitando as constante a , b , c e d e as funções f 1 e f 2

  3. Descreva a região plana R utilizando coordenadas polares, no seguinte formato:

    4. g θ ≤ r ≤ h θ ,     α ≤ θ ≤ β

    Explicitando as funções g e h e as constantes α e β

  4. Calcule a integral dupla I utilizando o método que preferir.

Ver solução completa

Questão 82

Calcule ∬ R   s e n   x 2 + y 2 d A , em que R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 . Esboce a região de integração.

Ver solução completa

Questão 83

4 . Calcule a integral

∬ a r c t g y x   d A

onde a região R é definida por R   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2   :   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4   ,   0 ≤ y ≤ x } .

Ver solução completa

Questão 84

Resolva as integrais duplas utilizando coordenadas polares:

∫ 0 2 ∫ y 4 - y 2 1 1 + x 2 + y 2 d x d y

Ver solução completa

Questão 85

Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla ∬ D ( x 2 + y 2 ) d A em que D é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas x = 0 ,   y = 0 e pela circunferência x 2 + y 2 = 1

Ver solução completa

Questão 86

Calcule a seguinte integral

∬ D e x 2 e y 2 d A

Em que D é a região limitada pelas retas y = 3 x e y = 0 e pela circunferência x 2 + y 2 = 4 , no terceiro quadrante

Ver solução completa

Questão 87

Usando coordenadas polares calcule a integral dupla

∬ D e x 2 + y 2 d A

Em que D é a região no primeiro quadrante no plano x y , acima da reta y = x e abaixo da circunferência x 2 + y 2 = 4

Ver solução completa

Questão 88

Usando coordenadas polares calcule a integral dupla

∫ 0 1 ∫ 3 y 4 - y 2 3 x 1 + x 2 + y 2 3 / 2 d x d y

Ver solução completa

Questão 89

Calcule a seguinte integral

∬ D e - x 2 - y 2 d A

Em que D é a região do plano limitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y

Ver solução completa

Questão 90

Calcule a seguinte integral

∬ D x x 2 + y 2 d A

Em que D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo 2 y = x 2 + y 2 e pelas retas y = 3 3 x e x = 0

Ver solução completa

Questão 91

Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 0 , x 2 + y 2 = - 3 x e z = x 2 + y 2

Ver solução completa

Questão 92

2. Resolva as integrais duplas utilizando coordenadas polares:

a) ∫ ∫ D cos ⁡ x 2 + y 2 d y d x em que D é a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 que está no primeiro quadrante e acima da reta y = x .

Ver solução completa

Questão 93

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

a) ∫ ∫ R x 2 + y 2 2 d x d y , onde R = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ;

Ver solução completa

Questão 94

Qual das alternativas abaixo exibe o valor correto da integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x

Escolha uma:

a) π e 4

b) π + e 4

c) π 4 e

d) 4 π e

e) π e - 1 4 e

Ver solução completa

Questão 95

Calcule as integrais:

b) ∫ ∫ R x y d x d y , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 25 .

Ver solução completa

Questão 96

Calcule as integrais:

d) ∫ ∫ D ( x 2 + y 2 ) d x d y , onde D é a região limitada pelas espiras r = θ   e r = 2 θ , com 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Ver solução completa

Questão 97

Calcule as integrais:

e) ∫ ∫ D e - x 2 - y 2 d x d y , onde D é a região limitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .

Ver solução completa

Questão 98

Calcule as integrais:

c) ∫ ∫ R 1 x 2 + y 2 d x d y , onde R é a região interior à cardioide r = 1 + sin ⁡ θ   e exterior à circunferência r = 1 .

Ver solução completa

Questão 99

  1. Calcule a integral abaixo

∬ R cos ⁡ x 2 + y 2 d x d y

Onde R   é o círculo de centro 0,0 e raio π / 2 .

Ver solução completa

Questão 100

Utilize as coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

c) Uma esfera de raio a .

Ver solução completa

Questão 101

Questão 1: Calcule a integral

∬ R   x 2 + y 2   d x d y

Onde R é a região limitada pela desigualdade x 2 + y - 1 2 ≤ 1 .

Ver solução completa

Questão 102

(Cap 15.1 - Ex15) Utilize uma calculadora programável ou computador (ou o comando de soma de um SCA) para estimar

∬ R   1 + x e - y d A

onde R = 0 ,   1 × 0 ,   1 . Utilize a Regra do Ponto Médio com os seguintes números de quadrados de tamanhos iguais: 1 ,   4 ,   16 ,   64 ,   256 e 1024 .

Ver solução completa

Questão 103

1. Seja R a região limitada pelas curvas y = 3 x , y = x , x = 1 e x = 2 . Mude a integral ∬ R 1 x 2 + y 2 d x d y para coordenadas polares.

Ver solução completa

Questão 104

3. Calcule a área da região R delimitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 2 3 x e x 2 + y 2 = 6 x .

Ver solução completa

Questão 105

Calcule a área da região plana entre as retas 3 y = 3 x , y = 3 x e limitada por x 2 + y 2 = 2 x .

Ver solução completa

Questão 106

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

f) ∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y

Ver solução completa

Questão 107

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

h) ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 e - x 2 - y 2 d y d x

Ver solução completa

Questão 108

  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 arctan ⁡ y x   d y d x

Ver solução completa

Questão 109

Seja

I = ∫ - 1 1 ∫ 1 1 + 1 - x 2 f x , y d y d x

  1. Inverta a ordem de integração em I .
  2. Calcule I para f x , y = 1 x 2 + y 2 .

Ver solução completa

Questão 110

  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 0 1 ∫ 1 - 1 - y 2 1 + 1 - y 2 x y   d x d y

Ver solução completa

Questão 111

Considere S a região do plano acima da reta y = x dentro do círculo x 2 + y - 1 2 = 1 .

  1. Escreva ∬ S   5 x 3   d A em integrais iteradas em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares.
  2. Escolha uma das formas encontradas no item anterior para mostrar que ∬ A   5 x 3   d A = - 5 12 .

Ver solução completa

Questão 112

Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

3. usando coordenadas polares.

Ver solução completa

Questão 113

(Cap 15.1 - Ex13) Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.

∬ R   ( 4 - 2 y )   d A   ,                     R = 0 ,   1 × [ 0 ,   1 ]

Ver solução completa

Questão 114

Questão 1: Expresse a área do domínio plano dado pelas relações abaixo como uma integral envolvendo coordenadas polares:

x 2 + y 2 ≤ 4 ,                 x 2 + y 2 ≥ 2 y ,                   y ≥ x .

Ver solução completa

Questão 115

3) Calcule o valor da integral

∫ ∫ D e - x 2 + y 2 d A ,

Onde D é a região delimitada pelas curvas x = 4 - y 2 e x = 0 .

Ver solução completa

Questão 116

Questão 1: Sejam 0 < a < b < 1 dois números reais positivos. Calcule a integral dupla ∬ Ω   1 x   d A , onde

Ω = x ,   y |   a x ≤ y ≤ b x ,   2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 x .

Ver solução completa

Questão 117

Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 0 1 ∫ x 2 2 - x 2 x 2 + y 2 d y d x

Ver solução completa

Questão 118

Seja

I = ∬ D f x , y d x d y = ∫ 0 1 ∫ - x 0 f x , y d y d x + ∫ 1 2 ∫ - 2 x - x 2 0 f x , y d y d x  

  1. Transforme I em uma só integral iterada na ordem invertida.
  2. Calcule I para f x , y = x 2 + y 2

Ver solução completa

Questão 119

Seja uma lâmina delgada representada pela região D , determinada por y ≤ x , y ≥ - x , x 2 + y 2 ≥ 2 x e x 2 + y 2 ≤ 4 x . Se a densidade em cada ponto é dada por ρ x , y = 1 x 2 + y 2 , determine a massa de D

Ver solução completa

Questão 120

Calcule a massa de D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1   ,   x 3 ≤ y ≤ 1 } com função de densidade δ x , y = e y 4 + x 2 3 .

Ver solução completa

Questão 121

3. Calcule ∬ S   f x ,   y ,   z d S , sendo:

a. f x , y , z = x , r u , v = u , v , u 2 + v , 0 ≤ u ≤ 1 , u 2 ≤ v ≤ 1

Ver solução completa

Questão 122

Utilize as coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

a) Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 9

Ver solução completa

Questão 123

Utilize as coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

b) Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e a fora do cilindro x 2 + y 2 = 4

Ver solução completa

Questão 124

  1. Calcule a massa de D   =   { ( x , y ) : x - 2 y + 3 2 + 3 x + 4 y - 1 2 ≤ 100 } , com função densidade δ x , y = x - 2 y + 18 .

Ver solução completa

Questão 125

Calcule o momento de Inercia I 0 com relação a origem de D = { x , y : x 2 + y 2 ≥ 1 , x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 } , onde a > 1 ,   b > 1   e a função densidade δ x , y = 1 .

Ver solução completa

Questão 126

14. Calcule ∬ D 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2 d x d y , sendo D = x , y ∈ R 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . (Sugestão: Faça x = a u e y = b v )

Ver solução completa

Questão 127

Considere a integral dupla em coordenadas polares:

I = ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ θ r   d r d θ

a) Esboce a região de integração no plano cartesiano.

Sugestão: Analise a imagem das retas θ = 0 , π 4 , π 2 , 3 π 4 ,   π .

b) Calcule e interprete geometricamente a integral I .

Ver solução completa

Questão 128

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

(a) ∫ ∫ R x 2 + y 2 3 2 d A , em que R é a região limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 .

Ver solução completa

Questão 129

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

(b) ∫ ∫ x 2 x 2 + y 2 d A , em que R é a região anular limitada por x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 , 0 < a < b .

Ver solução completa

Questão 130

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

d) ∫ - a a ∫ 0 a 2 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x

Ver solução completa

Questão 131

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

g) ∫ 0 1 2 ∫ 3 y 1 - y 2 x y 2 d x d y

Ver solução completa

Questão 132

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : a b a i x o   d o   p l a n o   2 x + y + z = 4   e   a c i m a   d o   d i s c o   x 2 + y 2 ≤ 1

Ver solução completa

Questão 133

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : é   d e l i m i t a d o   p o r   u m a   e s f e r a   d e   r a i o   a

Ver solução completa

Questão 134

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : i n t e r i o r   t a n t o   d o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = 4   q u a n t o   d o   e l i p s ó i d e   4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64

Ver solução completa

Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Área entre Curvas Lista de Curvas de Nível

Principais Conceitos de Cálculo

PrimitivasEquação da ElipseFunção contínuaCoeficiente LinearDiagrama De VennRetas ParalelasTabelas de Relações TrigonométricasTabela de DerivadasPropriedades do Logaritmo - Tabela