Exercícios de Mudança para Coordenadas Polares - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule

Onde é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo .

Calcule , onde é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências e .

Calcular a área da região abaixo usando integral dupla

b) Calcule a integral

Considerando

Utilize coordenadas polares para calcular

Onde

Calcule

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

e) , onde é a região limitada por .

Considere a região plana dada por:

E a integral dupla

1. Esboce a região
2. Expresse a integral como uma integral iterada nas variáveis cartesianas e y, integrando primeiro com respeito a e em seguida com respeito a (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral).
3. Expresse a integral como uma integral iterada nas variáveis polares e . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
4. Calcule (usando o método que preferir)

Calcule a seguinte integral:

Calcule

Onde é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo .

Utilize coordenadas polares para combinar a soma

Em uma única integral. Em seguida, calcule essa integral.

Calcule

Esboce a região de integração.

Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

Em que R é a região limitada pelo triângulo de vértices .

Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

b) Calcule a integral

Considerando

Calcule a área da figura plana limitada pela curva dada pela equação .

Calcule a integral

onde a região .

Qual das alternativas exibe o valor correto da integral

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

a)

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

b)

Envolvendo coordenadas polares, calcule:

a) , onde é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências e .

Use coordenadas polares para resolver a integral .

Calcule a integral dupla

Onde é a região definida por

Questão 4: Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:

Onde é a região acima do eixo e dentro da circunferência .

Sejam . Transformar em coordenadas cartesianas e descrever a seguinte curva, dada em coordenadas polares por

Envolvendo coordenadas polares, calcule:

b) , com .

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

g) , onde é a região limitada por . Interprete o resultado geometricamente.

1. Passe para coordenadas polares e calcule:

1. Uma placa tem a forma da região limitada pelas retas , , e .

A densidade em cada ponto é inversamente proporcional a distância à distância do ponto à origem. Determine a massa da placa.

Use coordenadas polares para calcular a área da região interior ao círculo , exterior ao círculo

1. Inverta a ordem de integração (Tipo I para tipo II) e calcule:
2. Usando coordenadas polares calcule:

Calcule a integral

Onde .

Calcule onde é a região do plano no interior da cardióide e no exterior do círculo . Sugestão: use coordenadas polares

a)

b)

c)

d)

e)

Calcule onde é a região de interna ao cilindro , externa ao cilindro , limitada acima pelo semicone e abaixo pelo paraboloide .

a)

b)

c)

d)

e)

4 – Calcular:

Em que é a região interna à e externa à .

5 – Calcular:

Em que é a região do primeiro quadrante delimitada por , , e .

Questão 2. Use técnicas de integração para determinar a área da região plana delimitada pelos círculos e e que está entre as retas e .

(4) Seja a região contida no primeiro quadrante do plano, limitada pela curva , pela reta e pela reta . Marque a opção que representa a integral após mudar para coordenadas polares.

Questão 3:

Considere a região plana onde:

e

1. Esboce e determine a fronteira de através de igualdades e desigualdades.
2. Calcule

Questão 1: Calcule a integral dupla da função no disco unitário centrado na origem.

Questão 2: Considere as regiões do espaço

Seja .

1. Esboce hachurando .
2. Considere

Escreva , na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas polares.

3. Calcule

Questão 3: Calcule

Onde é a região do primeiro quadrante entre as circunferências e .

6) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

b) onde:

e ;

Calcule a área da região situada fora do círculo de equação e dentro do círculo de equação

Considere a região do plano limitado pela curva

1. Esboce em coordenadas cartesianas e polares.
2. Calcule

Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral

Em seguida, calcule o seu valor.

Calcule a integral

Onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas , , e pelos círculos e .

Considere e a integral dada por

1. Usando coordenadas polares calcule . Justifique.

1. Calcule a integral abaixo

Ondeé a região contida no primeiro quadrante do plano cartersiano que está dentro do círculo de centro e raio e fora do círculo de mesmo centro e raio .

10 - Calcule a área da elipse .

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

c) , onde é a região limitada por e .

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

b)

8 - Uma região é mostrada em cada um dos gráficos da figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva os limites de integração da integral iterada , onde f é uma função arbitrária qualquer contínua em R.

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

d) , onde é a região limitada por

7 - Usando coordenadas polares, calcule:

f) , onde é a região limitada por .

Calcule onde é a região do plano no interior da cardióide e no exterior do círculo . Sugestão: use coordenadas polares

a)

b)

c)

d)

e)

6 – Calcular:

Em que é a região delimitada por .

Calcule a integral, colocando-a em coordenada polar:

Onde é a região anular .

(Cap 15.3 – Ex 2) Avalie a integral iterada

(Cap 15.4 – Ex 17) A região dentro do círculo e fora do círculo .

(Capítulo 15.4 – Exercício 32) Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

(Cap 15.4 – Ex 2) Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva como uma integral iterada, onde é uma função qualquer contínua em .

(Cap 15.4 – Ex 4) Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva como uma integral iterada, onde é uma função qualquer contínua em .

(Capítulo 15.4 – Exercício 29) Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

(Cap 15.4 – Ex 9) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

Onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro a origem e raios 1 e 3.

(Capítulo 15.4 – Exercício 40)

(a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano )

onde é o disco com raio e centro na origem. Mostre que

(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é

onde é o quadrado com vértices . Use esse resultado para mostrar que

(c) Deduza que

(d) Fazendo a mudança de variável , mostre que

(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)

(Cap 15.4 – Ex 7) onde é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.

(Cap 15.4 – Ex 8) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo e as retas e .

Utilize coordenadas polares para calcular

Onde

Calcule , em que é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo . Esboce a região .

Calcule a integral

Sendo o setor circular onde ,

Uma placa plana tem a forma da região que ocupa o primeiro quadrante entre as circunferências e . Se a densidade em cada ponto da placa é igual à soma das coordenadas do ponto, determine a massa da placa.

Calcule a integral

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de:

Calcule a massa de uma lâmina delimitada por , se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto a .

Considere a região plana

E a integral dupla

1. Esboce a região plana
2. Seja a parte da fronteira de que está contida na circunferência de equação e a parte da fronteira de que está contida na circunferência de equação . Descreva e nos seguintes formatos:

Explicitando as constante , , e e as funções e

3. Descreva a região plana utilizando coordenadas polares, no seguinte formato:

Explicitando as funções e e as constantes e

4. Calcule a integral dupla utilizando o método que preferir.

Calcule , em que é a região acima do eixo e dentro da circunferência . Esboce a região de integração.

Calcule a integral