Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 3
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá caro estudante. O exercício requer que utilizemos o teste da integral para definir se a série converge ou não. Para isso utilizaremos o teste da integral que diz o seguinte.Uma série que seja positiva, contínua e decrescente terá uma função associada , de modo que a integral imprópria de com os limites de integração iguais o da série nos fornecerá a informação de convergência da série.Dessa forma: A integral converge quando a série converge, e diverge quando a série diverge.
Tudo certo? Então vamos dar sequência.
Passo 2
Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza? 
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
Além disso, para aplicar o teste da integral precisamos verificar se a série é decrescente, contínua e positiva.
Como sabemos que uma série é positiva? Ora, não há nenhum termo que cause a série ter sinal negativo.É decrescente, pois conforme o o denominador cresce, e o valor absoluto decresce.
Basta observarmos que há apenas uma singularidade nessa função associada que acontece quando , ou seja, para qualquer valor de a função é contínua.
Passo 3
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Ora, e com calculamos uma integral com o limite de integração até infinito?Utilizaremos um limite para calcular essa integral.
Ficou claro? Então vamos seguir com a integração:
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite:
Opa! A nossa integral imprópria convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!