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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 20

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do anel 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão, temos um cone com a função

z = x 2 + y 2

que está sobre um anel delimitado da seguinte forma:

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

Precisamos calcular o volume da região entre esses corpos, para isso precisaremos converter essas funções em coordenadas polares. Depois disso iremos escrever os limites de integração e a função f x , y   no formato das variáveis das coordenadas polares. Após isso, é so integrar.

Passo 2

Veja que para encontrar o volume de um sólido é da forma:

∬ D z d A

Nosso z é z = x 2 + y 2

Vamos escrever z em coordenadas polares.

Só que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então:

z = r 2 cos ⁡ θ 2 + r 2 sen ⁡ θ 2

Simplificando:

z = r 2 ( cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 )

Sabemos das propriedades trigonométricas que

( cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ) = 1

Portanto temos:

z = r

Além disso, temos a a condição de que

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

Onde:

x 2 + y 2 = r 2

Sendo assim, temos:

r 2 = 1

r = 1

E:

r 2 = 4

r = 2

E sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

1 ≤ r ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

Temos que:

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 1 2 r 2 d r = r 3 3 1 2

∫ 1 2 r 2 d r = 2 3 3 - 1 3 3

∫ 1 2 r 2 d r = 8 3 - 1 3 = 7 3

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π 7 3 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 7 3 d θ = 7 3 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 7 3 d θ = 7 3 2 π

∫ 0 2 π 7 3 d θ = 14 π 3

Portanto o volume vale:

V = 14 π 3

Resposta

V = 14 π 3

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Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D xd A , onde D é a região delimitada do primeiro quadrante compreendida entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
4)Calcular ∬_R^() (d x d y)/((1 + x^2 + y^2)^((3)/(2))) onde R é a região da Figura 7.35.
2)Calcular ∬_R^() sen (x^2 + y^2) d x d y onde R é a região da Figura 7.33.