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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 9

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

9.

∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A

, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3.

Passo 1

Fala, galera! Tudo beleza?

A questão pede pra gente calcular a integral que nos deu, colocando ela em coordenadas polares. Show?

Inicialmente precisamos saber quem é esse R.

Segundo o problema, essa é a região que estamos calculando, com centro na origem entre círculos e entre raios 1 e 3. Ou seja temos nossos limites de integração!

Ou seja, quando ele fala em primeiro quadrante, está se referindo, em termos polares, do 0 até π 2 (primeiro quadrante!).

E o raio entre os círculos é de 1 até 3 . Tranquilo?

1 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Agora, vamos transformar nossa função dentro do limite como coordenada polar, show?

Temos algumas fórmulas que podem nos ajudar:

y = r s e n θ x = r c o s θ x 2 + y 2 = r 2 d A = r   d r   d θ

Portanto, temos:

∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A

∫ 0 π 2 ∫ 1 3 s e n r 2 r d r d θ

Passo 3

Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, colocamos os limites de integração na nossa integral, vamos fazer a mágica de calcular a integral!

∫ 0 π / 2 ∫ 1 3 r sen ⁡ r 2 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro:

∫ 1 3 r sen ⁡ r 2 d r

Pela técnica da substituição:

u = r 2 → d u = 2 r   d r → d r = d u 2 r

Assim,

∫ r sen ⁡ u d u 2 r

1 2 ∫ sen ⁡ u d u

= - cos ⁡ u 2

Como u = r 2 , então:

= - cos ⁡ r 2 2

Substituindo pelos limites de integração:

- cos ⁡ r 2 2 1 3

= - cos ⁡ 9 2 + cos ⁡ 1 2

Show?

Passo 4

Vamos agora trabalhar com a integral de fora, beleza?

∫ 0 π 2 - cos ⁡ 9 2 + cos ⁡ 1 2 d θ

Nesse caso, colocaremos um θ :

- cos ⁡ 9 2 + cos ⁡ 1 2 ⋅ θ 0 π 2

= - cos ⁡ 9 + cos ⁡ 1 2 ⋅ π 2 - - cos ⁡ 9 + cos ⁡ 1 2 ⋅ 0

Logo,

= π - cos ⁡ 9 + cos ⁡ 1 4

Resposta

∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A = π cos ⁡ 1 - cos ⁡ 9 4

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