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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 9

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Nesse caso, temos as duas funções:

1 - x 2 = y

y = 0

E veja o gráfico:

E veja que os pontos as retas s e interceptam são exatamente os pontos que definem os limites de integração da segunda integral, isto é, nesse caso [-1,1]

Assim, analisando o gráfico, temo que o raio vai de 0 a 1, e o ângulo formado vai de 0   a π .

Passo 3

Logo:

∫ 0 π ∫ 0 1 r   d r   d θ

∫ 0 π 1 2 r 2 0 1 d θ

∫ 0 π 1 2   d θ

1 2 ( θ 0 π )  

π 2

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 1 r   d r   d θ

E o valor da integral é:

π 2

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Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e o plano z = 7 no primeiro octante.
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro tanto do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64 .
Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .