Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 37
Encontre o valor médio da função na região anular onde .
Passo 1
E aí, galera! Tudo belezinha?
A questão pede o valor médio da função:
Dentro de uma região:
anular onde
Achar o valor médio de uma função é uma forma da gente representar a média de seus valores. Para podermos resolver a questão, primeiro vamos lembrar como calculamos o valor médio dentro de uma região. O valor médio é:
Portanto, precisamos resolver duas integrais. Como estamos trabalhando com uma região anular, é fica mais fácil descrevermos ela através de coordenadas polares.
Para isso precisamos encontrar os intervalos de integração em coordenadas polares pela descrição da nossa região anelar.
Vem ver como fica!
Passo 2
A região é:
onde .
Uma região anular é uma região com formato de circunferência. Mas sabemos que a equação que dá o raio de uma circunferência é:
Então, substituindo:
Tirando a raiz quadrada de toda a equação, temos:
Portanto, a nossa região, em coordenadas polares, é dada por:
Para o intervalo de , é só a gente lembrar que para percorrer todo uma circunferência vamos estar saindo de e chegando até o valor máximo do ângulo: .
Agora precisamos parametrizar nossa função :
Vamos usar:
Substituindo nossa função:
Também usando a relação:
O valor médio será calculado através da seguinte relação:
Simplificando, vamos ter finalmente:
Passo 3
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela integral do numerador da nossa equação de dada logo acima, temos:
Resolvendo a integral de dentro:
Aplicando os limites de integração:
Resolvendo a integral que restou:
Finalmente, ficamos com:
Passo 4
Já a integral do denominador, temos:
Resolvendo a integral de dentro:
Aplicando os limites de integração:
Resolvendo a integral que restou:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando com :
Portanto, o valor médio é dado por: