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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 44

Calcule a integral definida.

int_2^(1 1) (x^3)/(root(3)(x^2 + 4)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para resolver esse problema, vamos fazer a substituição u = x^2 + 4 => d u = 2 x d x . Assim,

x^3 d x = (x^2)/(2) * 2 x d x = (u - 4)/(2) d u

Portanto,

I = int_2^(11) (x^3)/(root(3)(x^2 + 4)) d x = int_8^(125) (u - 4)/(2 u^(1 // 3)) d u

Quando x = 2 => u = 8 , enquanto para x = 11 => u = 121 + 4 = 125 .

Passo 2

Desta forma, podemos escrever:

I = (1)/(2) int_8^(125) (u^((2)/(3)) - 4 u^(- (1)/(3))) d u

Efetuando a primitiva:

I = (1)/(2) ((3)/(5) u^((5)/(3)) - 4 * (3)/(2) u^((2)/(3)))_8^(125) = ((3)/(10) (root(3)(u))^5 - 3 (root(3)(u))^2)_8^(125)

Passo 3

Como sqrt(125) = 5 e sqrt(8) = 2 , temos que

I = ((3)/(10) t^5 - 3 t^2)_2^5 = (3)/(10) * 3125 - 3 * 25 - (3)/(10) * 32 + 3 * 4

Portanto,

I = (3)/(10) * 3093 - 63 = (8649)/(10)

Resposta

(8649)/(10)

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