Ache o centroide da região do exercício 99.

Passo 1

A questão pede para você determinar o centroide da região do exercício 99. No exercício 99, calcularmos a área da região delimitada pelo laço x 2 = y 4 ( 1 - y 2 ) , indicado na figura a seguir:

Neste exercício, vimos que a integração é feita de forma mais simples na variável y e obtivemos A = π / 8 para a área.

Note que a região é simétrica com relação ao eixo y , de modo que a coordenada x - do centroide será nula:

x - = 0

Já para a coordenada y do centroide, temos que

y - = M x M ,

onde

M = k A       e         M x = 2 k ∫ 0 1 x y   d y

Usei essa expressão para M x pois a integral é feita na variável y . O fator 2 aparece porque a integral só considera a região do primeiro quadrante.

Como x 2 = y 4 ( 1 - y 2 ) , temos que no primeiro quadrante x = y 2 1 - y 2 . Assim,

M x = 2 k ∫ 0 1 y 2 1 - y 2   y   d y

Passo 2

Chamando t = 1 - y 2 , temos que d t = - 2 y d y . Além disso, y 2 = 1 - t e quando y = 0 , t = 1 , enquanto para y = 1 , temos t = 0 :

M x = - k ∫ 1 0 1 - t   t   d t = k ∫ 0 1 t 1 2 - t 3 2   d t

Fazendo a integral:

M x = k   2 3 t 3 2 - 2 5 t 5 2 0 1 = k 2 3 - 2 5 = k 10 - 6 15 = 4 k 15

Passo 3

Assim,

y - = M x M = 4 k 15 k π 8 = 32 15 π

Portanto, as coordenadas do centroide serão:

x - ,   y - = 0 , 32 15 π

Resposta

0 , 32 15 π

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