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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 105

Ache o centroide da região do exercício 99.

Passo 1

A questão pede para você determinar o centroide da região do exercício 99. No exercício 99, calcularmos a área da região delimitada pelo laço x^2 = y^4 ( 1 - y^2 ) , indicado na figura a seguir:

Neste exercício, vimos que a integração é feita de forma mais simples na variável y e obtivemos A = pi // 8 para a área.

Note que a região é simétrica com relação ao eixo y , de modo que a coordenada overset(-)(x) do centroide será nula:

overset(-)(x) = 0

Já para a coordenada y do centroide, temos que

overset(-)(y) = (M_x)/(M) ,

onde

M = k A e M_x = 2 k int_0^1 x y d y

Usei essa expressão para M_x pois a integral é feita na variável y . O fator 2 aparece porque a integral só considera a região do primeiro quadrante.

Como x^2 = y^4 ( 1 - y^2 ) , temos que no primeiro quadrante x = y^2 sqrt(1 - y^2) . Assim,

M_x = 2 k int_0^1 y^2 sqrt(1 - y^2) y d y

Passo 2

Chamando t = 1 - y^2 , temos que d t = - 2 y d y . Além disso, y^2 = 1 - t e quando y = 0 , t = 1 , enquanto para y = 1 , temos t = 0 :

M_x = - k int_1^0 (1 - t) sqrt(t) d t = k int_0^1 (t^((1)/(2)) - t^((3)/(2))) d t

Fazendo a integral:

M_x = k ((2)/(3) t^((3)/(2)) - (2)/(5) t^((5)/(2)))_0^1 = k ((2)/(3) - (2)/(5)) = (k (10 - 6))/(15) = (4 k)/(15)

Passo 3

Assim,

overset(-)(y) = (M_x)/(M) = ((4 k)/(15))/((k pi)/(8)) = (32)/(15 pi)

Portanto, as coordenadas do centroide serão:

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = (0 , (32)/(15 pi))

Resposta

(0 , (32)/(15 pi))

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