Calcule a integral.

∫ d x x 3 + 2 x

Passo 1

Vamos utilizar integração por partes, e conseguimos reduzir a equação em:

1 x 3 + 2 x = 1 x x 2 + 2

Podemos decompor a função em:

1 x 3 + 2 x = A x + B x + C x 2 + 2

1 x 3 + 2 x = A x 2 + 2 + x ( B x + C ) x 3 + 2 x

Mantendo o denominador comum, temos:

1 = A x 2 + 2 + x ( B x + C )

Aplicando propriedade distributiva, temos:

1 = A x 2 + 2 A + B x 2 + C x

Juntando os termos comuns, temos:

1 = A x 2 + B x 2 + C x + 2 A

1 = A + B x 2 + C x + 2 A

Transformando em um sistema de equações, temos:

A + B = 0

C = 0

2 A = 1

Então:

A = 1 2

Então:

B = - 1 2

Passo 2

Tendo nossas funções:

1 x 3 + 2 x = A x + B x + C x 2 + 2

Calculando a integral:

∫ d x x 3 + 2 x = ∫ A x + B x + C x 2 + 2 d x

Substituindo os valores:

∫ d x x 3 + 2 x = ∫ 1 2 x + - 1 2 x x 2 + 2 d x

Reorganizando, temos:

∫ d x x 3 + 2 x = ∫ 1 2 x - x 2 ( x 2 + 2 ) d x

Portanto, integrando:

∫ d x x 3 + 2 x = 1 2 ln ⁡ x - 1 4 ln ⁡ x 2 + 2 + C

Resposta

∫ d x x 3 + 2 x = 1 2 ln ⁡ x - 1 4 ln ⁡ x 2 + 2 + C

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