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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 30

Calcule a integral.

int (d x)/(x^3 + 2 x)

Passo 1

Vamos utilizar integração por partes, e conseguimos reduzir a equação em:

(1)/(x^3 + 2 x) = (1)/(x (x^2 + 2))

Podemos decompor a função em:

(1)/(x^3 + 2 x) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 2)

(1)/(x^3 + 2 x) = (A (x^2 + 2) + x ( B x + C ))/(x^3 + 2 x)

Mantendo o denominador comum, temos:

1 = A (x^2 + 2) + x ( B x + C )

Aplicando propriedade distributiva, temos:

1 = A x^2 + 2 A + B x^2 + C x

Juntando os termos comuns, temos:

1 = (A x^2 + B x^2) + C x + 2 A

1 = (A + B) x^2 + C x + 2 A

Transformando em um sistema de equações, temos:

A + B = 0

C = 0

2 A = 1

Então:

A = (1)/(2)

Então:

B = - (1)/(2)

Passo 2

Tendo nossas funções:

(1)/(x^3 + 2 x) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 2)

Calculando a integral:

int (d x)/(x^3 + 2 x) = int (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 2) d x

Substituindo os valores:

int (d x)/(x^3 + 2 x) = int ((1)/(2))/(x) + (- (1)/(2) x)/(x^2 + 2) d x

Reorganizando, temos:

int (d x)/(x^3 + 2 x) = int (1)/(2 x) - (x)/(2 ( x^2 + 2 )) d x

Portanto, integrando:

int (d x)/(x^3 + 2 x) = (1)/(2) ln |x| - (1)/(4) ln (x^2 + 2) + C

Resposta

int (d x)/(x^3 + 2 x) = (1)/(2) ln |x| - (1)/(4) ln (x^2 + 2) + C

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