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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 28

Calcule a integral.

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x

Passo 1

Essa integral deve ser analisada como a integral das frações parciais da função. Se nossa integral é:

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x

Teremos que decompor em fatores de (x + 1) ; (x + 1)^2 e (x + 1)^3 :

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x = (A)/(x + 1) + (B)/((x + 1)^2) + (C)/((x + 1)^3)

Juntando os termos , temos:

(2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) = (A (x + 1)^2 + B (x + 1) + C)/((x + 1)^3)

As duas funções possuem o mesmo denominador, podemos dizer que:

2 x^2 + 3 x + 3 = A (x + 1)^2 + B (x + 1) + C

Ou:

2 x^2 + 3 x + 3 = A ( x^2 + 2 x + 1 ) + B (x + 1) + C

Combinando os termos em comum:

2 x^2 + 3 x + 3 = A x^2 + (2 A x + B x) + (A + B + C)

2 x^2 + 3 x + 3 = A x^2 + (2 A + B) x + ( A + B + C )

Igualando os termos iguais temos:

2 x^2 = A x^2

A = 2

3 (x) = (2 A + B) x

2 A + B = 3

B = - 1

A + B + C = 3

C = 2

Passo 2

Reconstruindo a equação, temos:

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x = int ((A)/(x + 1) + (B)/((x + 1)^2) + (C)/((x + 1)^3)) d x

Resolvendo, temos:

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x = int (A)/(x + 1) d x + int (B)/((x + 1)^2) d x + int (C)/((x + 1)^3) d x

Substituindo os termos, temos:

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x = int (2)/(x + 1) d x - int (1)/((x + 1)^2) d x + int (2)/((x + 1)^3) d x

Integrando, temos:

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x = ln |x + 1| - (((x + 1)^(- 1))/(- 1)) + (2 (x + 1)^(- 2))/(- 2) + C

Reorganizando:

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x = ln |x + 1| + (1)/(x + 1) - (1)/((x + 1)^2) + C

Resposta

int (2 x^2 + 3 x + 3)/((x + 1)^3) d x = ln |x + 1| + (1)/(x + 1) - (1)/((x + 1)^2) + C

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