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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 31

Calcule a integral.

int (x^3 + 3 x^2 + x + 9)/((x^2 + 1) ( x^2 + 3 )) d x

Passo 1

Temos a nossa integral:

int (x^3 + 3 x^2 + x + 9)/((x^2 + 1) ( x^2 + 3 )) d x

Podemos reescrever o numerador como:

int (x^3 + 3 x^2 + x + 9)/((x^2 + 1) ( x^2 + 3 )) d x = int (x (x^2 + 1) + 3 ( x^2 + 3 ))/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 3 )) d x

Cortando termos em comum , podemos simplificar em :

int (x^3 + 3 x^2 + x + 9)/((x^2 + 1) ( x^2 + 3 )) d x = int (x)/(x^2 + 3) + (3)/(x^2 + 1) d x

Resolvendo a integral, temos:

int (x^3 + 3 x^2 + x + 9)/((x^2 + 1) ( x^2 + 3 )) d x = (1)/(2) ln |x^2 + 3| + 3 tg^(- 1) x + C

Resposta

int (x^3 + 3 x^2 + x + 9)/((x^2 + 1) ( x^2 + 3 )) d x = (1)/(2) ln |x^2 + 3| + 3 tg^(- 1) x + C

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