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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 33

Calcule a integral.

int (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 2)/(x^2 + 1) d x

Passo 1

Podemos modificar o denominador em:

(x^3 - 2 x^2 + 2 x - 2)/(x^2 + 1) = (- 2 (x^2 + 1) + x^3 + 2 x)/(x^2 + 1)

Assim, ficamos com:

(x^3 - 2 x^2 + 2 x - 2)/(x^2 + 1) = - 2 + ((x^2 + 1) x + x)/(x^2 + 1)

Continuamos com:

(x^3 - 2 x^2 + 2 x - 2)/(x^2 + 1) = - 2 + x + (x)/(x^2 + 1)

Integrando, temos:

int (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 2)/(x^2 + 1) d x = - int 2 d x + int x d x + int (x)/(x^2 + 1) d x

Resolvendo, temos:

int (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 2)/(x^2 + 1) d x = - 2 x + (x^2)/(2) + (1)/(2) ln (x^2 + 1) + C

Resposta

int (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 2)/(x^2 + 1) d x = - 2 x + (x^2)/(2) + (1)/(2) ln (x^2 + 1) + C

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