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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 8

Calcule a integral definida

int_1^4 sqrt(x) ( 2 + x ) d x

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedades de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Olhando assim , eu pensaria . Mae de Deus! O que é isso?! Mas , Mantenha a calma , essa não é uma integral difícil. Tanto que nem vamos precisar fazer substituição. Lembra, se nada do que pensou deu certou, substituição é a sua carta na manga. Mas podemos fazer uma jogada de mestre nessa integral

int_1^4 sqrt(x) (2 + x) d x

= int_1^4 2 sqrt(x) d x + int_1^4 x sqrt(x) d x

Podemos escrever essa função em outra notação : 2 int_1^4 sqrt(x) d x + int_1^4 x sqrt(x) d x

= 2 int_1^4 x^(1 // 2) d x + int_1^4 x^(3 // 2) d x

Passo 3

O resultado dessa integral é :

(2 . (2)/(3) x^(3 // 2) + (2)/(5) x^(5 // 2)|_(x = 1)^4

(4)/(3) (4^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))) + (2)/(5) (4^((5)/(2)) - 1^((5)/(2)))

= (326)/(15)

Resposta

int_1^4 sqrt(x) ( 2 + x ) d x = (326)/(15)

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Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ). ∫ sen ⁡ xxd x
Se f for contínua e ∫ 0 9 f x d x = 4 , encontre ∫ 0 3 xf x 2d x .