Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 32
32. Ache a menor distância do ponto a um ponto sobre a curva , e ache o ponto sobre a curva que seja mais próximo de .
Passo 1
Vamos achar a distância e seu valor mínimo, derivando como foi feito nas outras questões.
Passo 2
Uma distância é mínima se o seu quadrado for mínimo também. A distância do ponto até um ponto na curva será
Show?
Passo 3
Como pertence à curva, podemos substituir na equação de .
Ficamos com:
Passo 4
Queremos a distância mínima, então precisamos derivar e igualar a zero para achar o ponto mínimo.
Vamos avaliar...
Para , e , . Substituindo o valor de : , podemos dizer que esse é valor mínimo. A menor distância será (porque combinamos lá no início que “uma distância é mínima se o seu quadrado for mínimo”)
Quando , então
Então o ponto mais próximo será
Resposta
Distância mínima e ponto .